# 행렬

분야: 대수
학교급: 고등
교육과정: 3차~2007 개정 (2009 개정에서 삭제, 2022 개정 일부 부활)
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%ED%96%89%EB%A0%AC

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> 이 개념은 3차~2007 개정 교육과정의 일반계 고교 과정에 있었고, 2009 개정에서 삭제되었다가 2022 개정에서 일부 부활했다.

## 정의

**행렬**(matrix)은 수를 직사각형 모양으로 배열한 것이다. 가로줄을 **행**(row), 세로줄을 **열**(column)이라 하고, $m$개의 행과 $n$개의 열로 이루어진 행렬을 $m \times n$ 행렬이라 한다.

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \quad (2 \times 2\ 행렬)$$

$i$행 $j$열의 수를 $(i,j)$ 성분이라 하고 $a_{ij}$로 쓴다.

## 직관

행렬은 "여러 수를 한 덩어리로 묶어 하나의 대상처럼 계산하는" 도구다. 흩어져 있으면 여러 개의 식이 필요한 정보 — 연립일차방정식의 계수들, 좌표평면 변환의 규칙 — 가 행렬 하나로 묶이고, 덧셈·곱셈이라는 대수 규칙까지 갖춘다. "수 체계를 확장해서 방정식·변환 자체를 계산 대상으로 만든다"는 것이 행렬 단원의 핵심이다.

## 🧑‍🏫 쉬운 설명

행렬을 처음 배우면 "결국 숫자를 네모나게 적어 둔 표 아닌가?" 싶다. 맞지만, 핵심은 이 표 전체를 **낱개 숫자가 아니라 하나의 새로운 대상**으로 다룬다는 데 있다. 수 $5$를 하나로 취급하듯 행렬 $A$도 하나로 취급해서 $A+B$, $AB$처럼 덧셈·곱셈을 하고 방정식 $AX=B$까지 세운다. "여러 숫자 뭉치를 마치 하나의 수처럼 굴린다"는 시선의 전환이 행렬 단원의 문턱이다.

익숙해져야 할 약속도 몇 가지 있다. 행렬의 크기는 늘 "행 먼저, 열 나중"으로 $m \times n$이라 쓰고($2 \times 3$은 가로줄 $2$개·세로줄 $3$개), 성분 $a_{ij}$의 아래첨자도 "$i$행 $j$열" 순서다. 순서를 바꿔 읽으면 위치가 어긋나니, 항상 "행 $\to$ 열"로 읽는다고 못 박아 두면 편하다.

두 행렬이 같다는 것도 "크기가 같고 같은 자리의 성분이 모두 같다"는 꽤 엄격한 조건이다. 성분 하나라도 다르거나 크기가 다르면 다른 행렬이다. 곱셈에서 수 $1$의 역할을 하는 단위행렬 $E$($AE=EA=A$)를 눈여겨 두면, 뒤에 나올 역행렬을 이해할 때 발판이 된다.

## 기본 사항

- 두 행렬이 **같다**: 크기가 같고 대응하는 성분이 모두 같다
- **영행렬** $O$: 모든 성분이 $0$
- **단위행렬** $E$: 대각 성분이 $1$, 나머지가 $0$인 정사각행렬 — 곱셈에서 수 $1$의 역할을 한다:

$$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad AE = EA = A$$

## 예시

두 가게의 품목별 판매량을 행렬로 두면, 월별 합계는 행렬 덧셈, 단가를 곱한 매출 계산은 행렬 곱셈이 된다 — "표 데이터의 일괄 계산"이 행렬 연산의 원형이다.

## 관련 개념

- 덧셈·실수배·곱셈의 규칙은 행렬의 연산에서 다룬다
- 곱셈을 되돌리는 행렬이 역행렬이고, 이를 이용해 연립일차방정식을 푼다
- 행렬이 좌표평면의 변환을 표현한 것이 일차변환이다

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관련 개념:
- 연립일차방정식 (/wiki/math/%EC%97%B0%EB%A6%BD%EC%9D%BC%EC%B0%A8%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D)
- 역행렬 (/wiki/math/%EC%97%AD%ED%96%89%EB%A0%AC)
- 행렬의 연산 (/wiki/math/%ED%96%89%EB%A0%AC%EC%9D%98_%EC%97%B0%EC%82%B0)
- 일차변환 (/wiki/math/%EC%9D%BC%EC%B0%A8%EB%B3%80%ED%99%98)