# 행렬의 연산 분야: 대수 학교급: 고등 교육과정: 3차~2007 개정 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%ED%96%89%EB%A0%AC%EC%9D%98_%EC%97%B0%EC%82%B0 --- > 이 개념은 3차~2007 개정 교육과정의 일반계 고교 과정에 있었고, 2009 개정에서 삭제되었다. ## 정의 같은 크기의 두 행렬에 대해 **덧셈**과 **실수배**는 성분별로 정의한다. **곱셈** $AB$는 $A$의 열 개수와 $B$의 행 개수가 같을 때 정의되며, $AB$의 $(i,j)$ 성분은 $A$의 $i$행과 $B$의 $j$열을 짝지어 곱해 더한 값이다: $$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ap+br & aq+bs \\ cp+dr & cq+ds \end{pmatrix}$$ ## 직관 덧셈·실수배는 "표끼리 성분별로 계산"이라 자연스럽다. 낯선 것은 곱셈인데, 곱셈의 정의는 **변환의 합성**에서 나온다: 행렬 $B$로 옮긴 뒤 $A$로 옮기는 것을 한 번에 하는 행렬이 정확히 $AB$가 되도록 설계된 것이다 (일차변환 참고). "행 × 열" 규칙은 암기 대상이 아니라 합성의 결과다. ## 🧑‍🏫 쉬운 설명 행렬 곱셈에서 첫 번째 의문은 대개 **"덧셈처럼 같은 자리끼리 곱하면 안 되나?"**다. 그렇게 정의할 수도 있지만, 그러면 행렬의 진짜 쓸모 — 변환의 합성이나 연립방정식 표현 — 가 통째로 사라진다. "행 × 열"이라는 번거로운 규칙은 억지로 만든 게 아니라, $B$로 옮긴 뒤 $A$로 옮기는 두 변환을 한 번에 해내는 행렬이 정확히 $AB$가 되도록 맞춘 결과다. 규칙을 외우기 전에 "이건 합성을 위한 정의"라는 배경을 알아 두면 덜 낯설다. 그다음 충격은 **수에서 늘 되던 것들이 행렬에선 안 된다**는 점이다. $AB$와 $BA$가 대체로 다르고(순서를 바꾸면 결과가 달라진다), 더 이상한 건 $A$도 $B$도 영행렬이 아닌데 $AB$가 영행렬이 될 수 있다는 것이다(영인자). 수에서 "$xy=0$이면 둘 중 하나는 $0$"이라는 익숙한 사실이 행렬에선 깨진다. 그래서 "곱이 영행렬이니 하나는 영행렬"이라는 논리를 함부로 쓰면 안 된다. 이 비가환성 때문에 전개 공식도 조심해야 한다. $(A+B)^2$을 무심코 $A^2 + 2AB + B^2$으로 펴면 틀린다. 올바르게 펴면 $A^2 + AB + BA + B^2$인데, $AB$와 $BA$가 다를 수 있어 가운데 두 항을 $2AB$로 합칠 수 없기 때문이다. $AB=BA$가 확인된 특별한 경우에만 익숙한 공식을 쓸 수 있다. ## 곱셈에서 조심할 것 수의 곱셈과 달리: - **교환법칙이 성립하지 않는다**: 일반적으로 $AB \neq BA$ - $AB = O$이어도 $A = O$ 또는 $B = O$라고 할 수 없다 (영인자): $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ - 따라서 $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ 같은 전개 공식도 $AB = BA$일 때만 쓸 수 있다 결합법칙 $(AB)C = A(BC)$와 분배법칙은 성립한다. ## 예시 $90^\circ$ 회전을 두 번 합성하면 $180^\circ$ 회전이어야 한다. 실제로: $$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ ## 관련 개념 - 기본 배열 구조는 행렬 참고 - 곱셈을 되돌리는 것이 역행렬이다 - 곱셈의 기하적 의미는 일차변환의 합성이다 --- 관련 개념: - 행렬 (/wiki/math/%ED%96%89%EB%A0%AC) - 일차변환 (/wiki/math/%EC%9D%BC%EC%B0%A8%EB%B3%80%ED%99%98) - 다항식 (/wiki/math/%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D) - 역행렬 (/wiki/math/%EC%97%AD%ED%96%89%EB%A0%AC)