# 합성함수 분야: 해석 학교급: 고등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%ED%95%A9%EC%84%B1%ED%95%A8%EC%88%98 --- ## 정의 두 함수 $f: X \to Y$, $g: Y \to Z$에 대해, $x$를 $f$로 보낸 결과를 다시 $g$로 보내는 함수를 **합성함수**라 하고 $g \circ f$로 쓴다: $$(g \circ f)(x) = g(f(x))$$ $f$의 치역이 $g$의 정의역에 포함되어야 정의된다. ## 직관 함수를 "기계"로 보면 합성은 **기계를 직렬로 연결**하는 것이다. 원료 $x$가 기계 $f$를 지나 중간재 $f(x)$가 되고, 그것이 기계 $g$를 지나 완제품 $g(f(x))$가 된다. 표기 $g \circ f$는 오른쪽부터 읽는다 — **먼저 적용하는 함수가 오른쪽**이다. ## 🧑‍🏫 쉬운 설명 합성함수에서 가장 자주 나오는 실수는 **적용 순서를 반대로 읽는 것**이다. $g \circ f$는 왼쪽의 $g$부터 하는 것 같지만, 실제로는 안쪽(오른쪽)의 $f$를 **먼저** 적용한다. $(g \circ f)(x) = g(f(x))$에서 괄호 안쪽부터 계산하는 것과 같은 순서다. 옷을 입을 때 속옷을 먼저 입고 겉옷을 나중에 걸치듯, 안에 있는 함수가 먼저 작동한다고 기억하면 헷갈리지 않는다. 두 번째로 놓치기 쉬운 건 **순서를 바꾸면 결과가 달라진다**는 점이다. 수의 곱셈은 $2 \times 3 = 3 \times 2$지만 함수 합성은 그렇지 않다. "양말을 신고 신발을 신기"와 "신발을 신고 양말을 신기"가 전혀 다른 결과이듯, $g \circ f$와 $f \circ g$는 대개 다르다. 위 예처럼 $f(x)=x+1$, $g(x)=x^2$이면 한쪽은 $(x+1)^2$, 다른 쪽은 $x^2+1$로 갈린다. 그래서 합성 문제에서는 "누구를 먼저 넣는가"를 항상 먼저 확정해야 한다. 한 가지 더, 아무 두 함수나 이어 붙일 수 있는 건 아니다. $f$가 내놓는 값을 $g$가 받아들일 수 있어야 하니, $f$의 치역이 $g$의 정의역 안에 들어와야 합성이 정의된다. 앞 기계의 출력이 뒷 기계의 규격에 맞아야 연결되는 것과 같다. ## 성질 - **교환법칙 불성립**: 일반적으로 $g \circ f \neq f \circ g$ - **결합법칙 성립**: $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$ ## 예시 $f(x) = x + 1$, $g(x) = x^2$일 때: $$(g \circ f)(x) = (x+1)^2, \qquad (f \circ g)(x) = x^2 + 1$$ $x = 1$에서 전자는 $4$, 후자는 $2$ — 연결 순서가 결과를 바꾼다. 복잡한 함수를 단순한 함수의 합성으로 **분해**하는 시각도 중요하다: $y = (2x+1)^3$은 "일차식 $u = 2x+1$ 뒤에 세제곱"으로 읽을 수 있고, 이 분해가 미분의 연쇄법칙(미분법)의 출발점이 된다. ## 관련 개념 - 바탕 개념: 함수, 그중 $f \circ f^{-1} = $ 항등함수가 되게 하는 짝이 역함수다 - 일차변환의 합성이 행렬의 곱으로 나타나는 것도 함수 합성의 한 사례다 - 합성함수의 미분(연쇄법칙)은 미분법에서 다룬다 --- 관련 개념: - 함수 (/wiki/math/%ED%95%A8%EC%88%98) - 미분법 (/wiki/math/%EB%AF%B8%EB%B6%84%EB%B2%95) - 역함수 (/wiki/math/%EC%97%AD%ED%95%A8%EC%88%98) - 일차변환 (/wiki/math/%EC%9D%BC%EC%B0%A8%EB%B3%80%ED%99%98) - 행렬의 연산 (/wiki/math/%ED%96%89%EB%A0%AC%EC%9D%98_%EC%97%B0%EC%82%B0)