# 함수의 극한 분야: 해석 학교급: 고등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%ED%95%A8%EC%88%98%EC%9D%98_%EA%B7%B9%ED%95%9C --- > 이 개념은 함수 $f(x)$에서 $x$가 특정한 값에 한없이 가까워질 때 $f(x)$의 값이 어떻게 변화하는지를 다룬다. ## 정의 함수 $f(x)$에서 $x$가 $a$가 아니면서 $a$에 한없이 가까워질 때, $f(x)$의 값이 일정한 값 $L$에 한없이 가까워지면 $$\lim_{x \to a} f(x) = L$$ ($\lim$은 "리미트", $x \to a$는 "엑스가 에이로 간다"라고 읽는다) 이라 하고, $L$을 $x=a$에서의 함수 $f(x)$의 **극한값**이라 한다. $x$가 $a$보다 작은 값에서 $a$로 가까워지는 것을 **좌극한** $\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x)$, $a$보다 큰 값에서 가까워지는 것을 **우극한** $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x)$이라 한다. 극한값이 존재하기 위한 필요충분조건은 $$\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$$ 즉 좌극한과 우극한이 값이 같아야 하며, 이때 그 공통값이 극한값이 된다. ## 직관 극한은 "$x=a$에서의 함숫값"을 묻는 게 아니라 "$x$가 $a$에 다가갈 때 $f(x)$가 어디로 향하는가"를 묻는 개념이다. 예를 들어 $f(a)$ 자체가 정의되어 있지 않아도(분모가 0이 되는 등), $a$ 근처의 값들을 계속 대입해 보면 $f(x)$가 한 값으로 수렴하는 경향을 관찰할 수 있다. 마치 목적지 근처까지만 갈 수 있는 길에서, 실제로 도착하지는 못해도 "이 방향으로 가면 결국 어디에 이르는지"를 예측하는 것과 같다. ## 성질 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$, $\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = M$ ($L, M$은 실수)일 때 다음이 성립한다. - $\displaystyle\lim_{x \to a} \{f(x) + g(x)\} = L + M$ - $\displaystyle\lim_{x \to a} \{f(x) - g(x)\} = L - M$ - $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)g(x) = LM$ - $\displaystyle\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M}$ (단, $M \neq 0$) 이 성질은 각 극한값 $L, M$이 **모두 존재할 때만** 성립한다는 점에 유의해야 한다. $\frac{0}{0}$ 꼴처럼 극한값을 바로 알 수 없는 부정형은 인수분해나 분모(분자)의 유리화를 이용해 식을 변형한 뒤 성질을 적용한다. ## 예시 **예시 1.** $\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{x-2}$를 구하면, $x \neq 2$이므로 약분하여 $$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$$ **예시 2.** $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$는 분자를 유리화하면 $$\frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \frac{1}{\sqrt{x+4}+2} \to \frac{1}{4}$$ 그래프: y=x+2 (정의역 -5~5) 위 그래프는 예시 1에서 약분 후 남는 함수 $y=x+2$이다. 원래 함수는 $x=2$에서 정의되지 않아 이 직선에 구멍이 뚫린 그래프이지만, 극한값은 그 구멍의 높이인 $4$로 결정된다. ## ⚠️ 흔한 실수 - **잘못된 생각**: $f(a)$ 값을 그냥 대입해서 나온 값이 곧 극한값이다. → 왜 틀렸는지: 극한은 $a$ 근처에서의 접근값이지 $a$에서의 함숫값이 아니다. $f(a)$가 정의되지 않거나, 정의되어 있어도 그 값과 극한값이 다른 함수(불연속인 함수)가 존재한다. - **잘못된 생각**: 대입했더니 $\frac{0}{0}$이 나오니 극한값도 $0$이거나 존재하지 않는다. → 왜 틀렸는지: $\frac{0}{0}$은 값이 정해지지 않은 **부정형**일 뿐, 극한이 없다는 뜻이 아니다. 예시 1처럼 인수분해로 약분하면 실제 극한값을 구할 수 있다. - **잘못된 생각**: $f(x) = \dfrac{|x|}{x}$의 $x \to 0$에서의 극한을 구할 때 한쪽(우극한)만 계산하고 끝낸다. → 왜 틀렸는지: 좌극한($-1$)과 우극한($1$)이 서로 다르므로 극한값 자체가 존재하지 않는다. 극한이 존재하려면 반드시 좌극한과 우극한을 모두 확인해 일치하는지 봐야 한다. ## 확인 문제 1. $\displaystyle\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2-9}{x-3}$의 값을 구하시오. 2. $f(x) = \dfrac{|x-1|}{x-1}$일 때 $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)$가 존재하는지 조사하시오. 3. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$의 값을 구하시오. 정답 보기: 1. $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3 \to 6$ 2. $x<1$이면 $f(x)=-1$, $x>1$이면 $f(x)=1$이므로 좌극한과 우극한이 달라 극한값이 존재하지 않는다. 3. 분자를 유리화하면 $\dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2} \to \dfrac{1}{4}$ ## 관련 개념 - 함수 - 수열의 극한 - 함수의 연속 - 미분계수 - 평균값 정리 --- 관련 개념: - 함수 (/wiki/math/%ED%95%A8%EC%88%98) - 수열의 극한 (/wiki/math/%EC%88%98%EC%97%B4%EC%9D%98_%EA%B7%B9%ED%95%9C) - 함수의 연속 (/wiki/math/%ED%95%A8%EC%88%98%EC%9D%98_%EC%97%B0%EC%86%8D) - 미분계수 (/wiki/math/%EB%AF%B8%EB%B6%84%EA%B3%84%EC%88%98) - 평균값 정리 (/wiki/math/%ED%8F%89%EA%B7%A0%EA%B0%92_%EC%A0%95%EB%A6%AC)