# 타원

분야: 기하
학교급: 고등
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%ED%83%80%EC%9B%90

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<!-- prereq: 원의 방정식, 평면좌표, 피타고라스 정리 -->

## 정의

평면 위에 두 정점 $F$, $F'$($F$ 프라임이라 읽는다)이 있을 때, 이 두 점으로부터의 거리의 합이 일정한 점 $P$ 전체의 집합을 **타원**이라 한다. 이때 $F$, $F'$을 타원의 **초점**이라 한다.

$$\overline{PF} + \overline{PF'} = 2a \ (\text{일정}, \ a>0)$$

초점이 $x$축 위의 $(\pm c, 0)$에 있고 $2a > 2c$일 때, 타원의 방정식은 다음과 같은 표준형으로 나타난다.

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0,\ b^2 = a^2 - c^2)$$

## 직관

원을 한쪽 방향으로 살짝 눌러 찌그러뜨린 도형이 타원이다. 원은 "한 점(중심)으로부터 거리가 일정한 점들의 집합"이었다면, 타원은 그 기준점이 하나에서 둘로 늘어난 것이라고 생각하면 된다. 실제로 압정 두 개를 판에 꽂고 줄의 양 끝을 묶은 뒤, 연필로 줄을 팽팽하게 당기면서 한 바퀴 그리면 타원이 그려진다 — 이 방법을 **원예사의 방법**이라 부르기도 한다. 압정 두 개가 초점 $F$, $F'$이고, 줄의 전체 길이가 $2a$에 해당한다.

## 성질

- **꼭짓점과 축**: $x$축과 만나는 점 $(\pm a, 0)$을 장축의 꼭짓점, $y$축과 만나는 점 $(0, \pm b)$을 단축의 꼭짓점이라 한다. 장축의 길이는 $2a$, 단축의 길이는 $2b$이다.
- **초점의 위치**: $c^2 = a^2 - b^2$ (단, $c>0$)이며, 초점은 $(\pm c, 0)$이다. 만약 $b>a$이면 초점은 $y$축 위에 있고, 이때는 $c^2=b^2-a^2$이다.
- **이심률**: $e = \dfrac{c}{a}$($e$는 이심률이라 읽는다)로 정의하며, $0<e<1$이다. $e$가 0에 가까울수록 원에 가깝고, 1에 가까울수록 납작하게 찌그러진 모양이 된다.
- **중심이 원점이 아닐 때**: 중심이 $(p, q)$인 타원은 $\dfrac{(x-p)^2}{a^2} + \dfrac{(y-q)^2}{b^2} = 1$의 꼴로 나타낸다.

## 예시

**예시 1.** $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$인 타원을 살펴보자. $a^2=9, b^2=4$이므로 $a=3, b=2$이고, $c^2 = 9-4=5$이므로 $c=\sqrt5$이다. 따라서 초점은 $(\sqrt5, 0)$, $(-\sqrt5, 0)$이고, 장축의 길이는 $6$, 단축의 길이는 $4$이다.

**예시 2.** 두 초점이 $(3,0)$, $(-3,0)$이고 장축의 길이가 $10$인 타원의 방정식을 구해 보자. $2a=10$이므로 $a=5$, $c=3$이므로 $b^2 = a^2-c^2 = 25-9=16$이다. 따라서 방정식은 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$이다.


그래프: y=2*sqrt(1-x^2/9), y=-2*sqrt(1-x^2/9) (정의역 -3~3)


## 🌍 실생활 예시

행성이 태양 주위를 도는 궤도는 원이 아니라 타원이다. 태양은 타원 궤도의 두 초점 중 하나에 위치하며(케플러의 제1법칙), 이 때문에 지구도 태양으로부터의 거리가 계절에 따라 조금씩 달라진다. 인공위성의 궤도 설계나 위성 발사 계획에서도 타원 궤도의 장축·단축·이심률 계산이 실제로 사용된다.

## ⚠️ 흔한 실수

- **잘못된 생각**: $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$에서 항상 $a$가 $x$축 방향의 반지름이라고 외운다.
  **왜 틀렸는지**: 표준형은 분모가 큰 쪽이 장축 방향이다. 예를 들어 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1$은 $b^2=9>a^2=4$이므로 장축이 $y$축 위에 있고, 초점도 $y$축 위 $(0,\pm\sqrt5)$에 있다. 무조건 $x^2$의 분모를 $a^2$으로 단정하면 안 된다.
- **잘못된 생각**: 초점 사이의 거리 $2c$를 장축의 길이 $2a$와 혼동해서 $c=a-b$처럼 계산한다.
  **왜 틀렸는지**: 세 값 $a, b, c$는 피타고라스 정리와 같은 형태인 $c^2=a^2-b^2$(단, $a>b$일 때) 관계를 만족한다. 단순한 뺄셈이 아니라 제곱의 차이임을 놓치면 초점의 위치를 잘못 구하게 된다.
- **잘못된 생각**: 타원 위의 한 점에서 두 초점까지 거리의 **곱**이 일정하다고 착각한다.
  **왜 틀렸는지**: 타원의 정의는 거리의 **합**이 $2a$로 일정하다는 것이다. 거리의 곱이 일정한 것은 다른 곡선(카시니 난형선 등)의 정의이며 타원과는 다르다.

## 확인 문제

1. $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$인 타원의 장축의 길이, 단축의 길이, 초점의 좌표를 각각 구하여라.
2. 원예사의 방법(압정 두 개와 줄)으로 타원을 그릴 때, 줄의 길이를 그대로 두고 압정 두 개의 간격만 점점 넓혀 가면 타원의 모양이 어떻게 변하는지 설명하여라. 또한 압정 두 개가 완전히 겹치면 어떤 도형이 되는지도 설명하여라.
3. 두 초점이 $(0, 4)$, $(0, -4)$이고 단축의 길이가 $6$인 타원의 방정식을 구하여라.

정답 보기:

1. $a^2=25, b^2=9$이므로 $a=5, b=3$. 장축의 길이는 $2a=10$, 단축의 길이는 $2b=6$. $c^2=25-9=16$이므로 $c=4$, 초점은 $(4,0)$, $(-4,0)$이다.
2. 줄의 길이 $2a$는 그대로인데 압정 사이 거리 $2c$가 넓어지면, $b^2=a^2-c^2$이 점점 작아져 타원이 더 납작해진다(이심률 $e=c/a$가 커진다). 압정 두 개가 완전히 겹치면 $c=0$이 되어 $a=b$가 되고, 이는 두 초점이 하나로 합쳐진 경우이므로 반지름이 $a$인 원이 된다. 즉 원은 두 초점이 일치하는 타원의 특수한 경우이다.
3. 초점이 $y$축 위에 있으므로 장축이 $y$축 방향이다. $c=4$이고 단축의 길이가 $6$이므로 $b=3$. $a^2=b^2+c^2=9+16=25$. 방정식은 $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{25}=1$이다.



## 관련 개념

- 원의 방정식 — 두 초점이 하나로 합쳐진 타원의 특수한 경우
- 평면좌표 — 타원의 방정식을 좌표평면 위에서 나타내기 위한 기초
- 피타고라스 정리 — $a^2=b^2+c^2$ 관계의 기하학적 뿌리
- 포물선, 쌍곡선 — 타원과 함께 이차곡선을 이루는 다른 도형들
- 이차곡선 — 타원을 포함한 원뿔곡선 전체를 다루는 상위 개념

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관련 개념:
- 원의 방정식 (/wiki/math/%EC%9B%90%EC%9D%98_%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D)
- 평면좌표 (/wiki/math/%ED%8F%89%EB%A9%B4%EC%A2%8C%ED%91%9C)
- 피타고라스 정리 (/wiki/math/%ED%94%BC%ED%83%80%EA%B3%A0%EB%9D%BC%EC%8A%A4_%EC%A0%95%EB%A6%AC)
- 포물선 (/wiki/math/%ED%8F%AC%EB%AC%BC%EC%84%A0)
- 쌍곡선 (/wiki/math/%EC%8C%8D%EA%B3%A1%EC%84%A0)
- 이차곡선 (/wiki/math/%EC%9D%B4%EC%B0%A8%EA%B3%A1%EC%84%A0)