# 코사인법칙 분야: 기하 학교급: 고등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%BD%94%EC%82%AC%EC%9D%B8%EB%B2%95%EC%B9%99 --- ## 정의 삼각형 $ABC$에서 각 $A, B, C$의 대변의 길이를 각각 $a, b, c$라 하면, 다음이 성립한다. $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ca\cos B$$ $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$ 이를 **코사인법칙**이라 한다. 여기서 $\cos A$($A$의 코사인이라 읽는다)는 각 $A$의 삼각비(삼각함수)값이다. 이 식을 각에 대해 정리하면 세 변의 길이만으로 각의 크기를 구할 수 있다. $$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$ ## 직관 코사인법칙은 피타고라스 정리 $a^2=b^2+c^2$의 일반화로 이해하면 쉽다. 피타고라스 정리는 각 $A$가 직각($90°$)일 때만 성립하는데, 코사인법칙은 직각이 아닌 경우까지 확장한 것이다. 실제로 $A=90°$이면 $\cos A = 0$이 되어 $-2bc\cos A$ 항이 사라지고 $a^2=b^2+c^2$으로 되돌아간다. 즉 $-2bc\cos A$는 "직각에서 벗어난 만큼의 보정항"이다. $A$가 예각이면 $\cos A>0$이라 $a$가 피타고라스 정리보다 짧아지고, $A$가 둔각이면 $\cos A<0$이라 $-2bc\cos A$ 부분이 오히려 더해져 $a$가 길어진다. 두 변과 그 사이 끼인각을 벌리면 벌릴수록 마주보는 변이 길어진다는 직관과 정확히 일치한다. ## 예시 **두 변과 끼인각으로 나머지 변 구하기**: $b=5$, $c=7$, $A=60°$일 때, $$a^2 = 5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cos 60° = 25+49-70\times\frac12 = 74-35=39$$ 따라서 $a=\sqrt{39}$이다. **세 변으로 각 구하기**: $a=7$, $b=8$, $c=9$일 때, $$\cos A = \frac{8^2+9^2-7^2}{2\cdot8\cdot9}=\frac{64+81-49}{144}=\frac{96}{144}=\frac23$$ 따라서 $A=\cos^{-1}\dfrac23$이다($\cos^{-1}$은 코사인 역함수, 즉 아크코사인이라 읽는다). ## 🌍 실생활 예시 측량 기사가 강 건너편에 있어 직접 잴 수 없는 거리를 구할 때 코사인법칙을 쓴다. 이쪽 강가에서 두 지점 사이의 거리(한 변)와 각각의 지점에서 건너편 목표물을 바라보는 각도를 측정하면, 삼각형의 두 변과 끼인각을 알 수 있는 상황이 되어 코사인법칙으로 나머지 변(강 건너 지점까지의 거리)을 계산할 수 있다. GPS 삼각측량이나 항해에서 두 지점 사이 거리를 구하는 데도 같은 원리가 쓰인다. ## ⚠️ 흔한 실수 - **잘못된 생각**: 아무 각이나 알고 있으면 코사인법칙을 바로 쓸 수 있다. **왜 틀렸는지**: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$에서 $\cos A$ 앞의 두 변 $b, c$는 반드시 각 $A$를 "끼고 있는" 두 변이어야 한다. 끼인각이 아닌 다른 각을 대입하면 식 자체가 성립하지 않는다. - **잘못된 생각**: 삼각형이면 항상 $a^2=b^2+c^2$을 써도 된다. **왜 틀렸는지**: 이는 $A=90°$인 직각삼각형에서만 성립하는 특수한 경우다. 일반 삼각형에서는 $-2bc\cos A$ 보정항을 빼먹으면 안 된다. - **잘못된 생각**: 세 변으로 각을 구할 때 공식의 $a, b, c$ 자리를 아무렇게나 바꿔 넣어도 상관없다. **왜 틀렸는지**: $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$에서 분자의 $a^2$는 반드시 구하려는 각 $A$의 대변이어야 한다. 대변 대응을 바꾸면 전혀 다른 각을 구하게 된다. ## 확인 문제 1. 코사인법칙 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$에서 $A=90°$를 대입하면 어떤 식이 되는지 쓰고, 왜 그렇게 되는지 설명하시오. 2. $b=6$, $c=10$, $A=120°$일 때 $a$의 값을 구하시오. 3. 세 변의 길이가 $a=5$, $b=6$, $c=7$인 삼각형에서 $\cos C$의 값을 구하고, 이 삼각형이 예각삼각형인지 둔각삼각형인지 판단하시오. 정답 보기: 1. $\cos 90°=0$이므로 $-2bc\cos A$ 항이 사라져 $a^2=b^2+c^2$, 즉 피타고라스 정리가 된다. 코사인법칙은 직각삼각형의 경우를 포함하는 일반화된 식임을 알 수 있다. 2. $a^2=6^2+10^2-2\cdot6\cdot10\cos120°=36+100-120\times(-\tfrac12)=136+60=196$이므로 $a=14$. 3. $\cos C=\dfrac{5^2+6^2-7^2}{2\cdot5\cdot6}=\dfrac{25+36-49}{60}=\dfrac{12}{60}=\dfrac15>0$이므로 $C$는 예각이다. 가장 긴 변 $c$의 대각이 예각이면 다른 두 각도 모두 예각이므로 이 삼각형은 예각삼각형이다. ## 관련 개념 - 삼각형 — 코사인법칙이 성립하는 대상 - 삼각비, 삼각함수 — 코사인법칙에 쓰이는 $\cos$의 정의 - 피타고라스 정리 — 직각삼각형에서의 특수한 경우 - 사인법칙 — 삼각형의 변과 각을 다루는 또 다른 법칙 - 벡터의 내적 — 코사인법칙을 벡터로 증명할 때 사용 --- 관련 개념: - 삼각비 (/wiki/math/%EC%82%BC%EA%B0%81%EB%B9%84) - 삼각함수 (/wiki/math/%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%95%A8%EC%88%98) - 피타고라스 정리 (/wiki/math/%ED%94%BC%ED%83%80%EA%B3%A0%EB%9D%BC%EC%8A%A4_%EC%A0%95%EB%A6%AC) - 삼각형 (/wiki/math/%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%98%95) - 사인법칙 (/wiki/math/%EC%82%AC%EC%9D%B8%EB%B2%95%EC%B9%99) - 벡터의 내적 (/wiki/math/%EB%B2%A1%ED%84%B0%EC%9D%98_%EB%82%B4%EC%A0%81)