# 최대공약수와 최소공배수

분야: 대수
학교급: 초등
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%B5%9C%EB%8C%80%EA%B3%B5%EC%95%BD%EC%88%98%EC%99%80_%EC%B5%9C%EC%86%8C%EA%B3%B5%EB%B0%B0%EC%88%98

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<!-- prereq: 약수와 배수, 나눗셈, 곱셈 -->

## 정의

**최대공약수**는 두 개 이상의 수의 공약수(공통인 약수) 중에서 가장 큰 수를 말한다. **최소공배수**는 두 개 이상의 수의 공배수(공통인 배수) 중에서 가장 작은 수를 말한다.

예를 들어 12와 18의 공약수는 1, 2, 3, 6이고, 이 중 가장 큰 6이 최대공약수다. 12와 18의 공배수는 36, 72, 108, ...이고, 이 중 가장 작은 36이 최소공배수다.

## 직관

최대공약수는 "두 수를 똑같이 나눌 수 있는 가장 큰 덩어리"를 찾는 것이다. 사탕 12개와 초콜릿 18개를 최대한 많은 친구에게 남김없이 똑같이 나눠주려면, 몇 명에게 나눠줄 수 있는지를 구하는 것이 바로 최대공약수를 찾는 문제다.

최소공배수는 반대로 "두 수의 리듬이 처음으로 딱 맞아떨어지는 지점"을 찾는 것이다. 4일마다 도서관에 가는 친구와 6일마다 도서관에 가는 친구가 있다면, 두 친구가 다시 같은 날 도서관에서 만나는 날은 4와 6의 최소공배수인 12일 후다.

## 유도

이미 알고 있는 약수와 배수로 최대공약수를 구하는 가장 쉬운 방법은, 두 수의 약수를 전부 적어 놓고 겹치는 것을 찾는 것이다. 12와 18로 해 보면 다음과 같다.

- 12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12
- 18의 약수: 1, 2, 3, 6, 9, 18
- 겹치는 것(공약수): 1, 2, 3, 6 → 가장 큰 수는 6

그런데 84와 126처럼 수가 커지면 약수를 하나하나 적다가 빠뜨리기 쉽고 시간도 오래 걸린다. 더 빠른 길이 없을까?

두 수를 공약수로 한 번 나누면 무슨 일이 일어나는지 살펴보자. 12와 18을 둘 다 나눌 수 있는 2로 나누면 6과 9가 된다. 6과 9는 아직도 3으로 나눌 수 있으니 나누면 2와 3이 남는다. 이제 2와 3은 1 말고는 공통으로 나눌 수 있는 수가 없다 — 즉 더 쪼갤 수 없는 상태다. 이때 나눈 수들을 모두 곱해 보면

$$2 \times 3 = 6$$

이 되어, 약수를 나열해서 찾은 최대공약수 6과 정확히 같다. 나눌 때마다 두 수에서 "공통으로 들어 있던 부분"을 하나씩 꺼낸 것이므로, 더 이상 꺼낼 것이 없을 때까지 꺼낸 수들을 모두 곱하면 두 수에 공통으로 들어 있던 가장 큰 덩어리, 곧 최대공약수가 된다. 이것이 "공약수로 나누어 구하기" 방법이 통하는 이유다.

이제 최소공배수도 같은 그림에서 찾을 수 있다. 12는 $6 \times 2$, 18은 $6 \times 3$으로 나뉘었고, 남은 2와 3은 더 이상 공통인 수가 없다(서로소). 두 수의 공배수가 되려면 공통 부분 6은 물론이고, 12에만 있는 2와 18에만 있는 3까지 모두 곱해서 가지고 있어야 한다. 그래서 가장 작은 공배수는

$$6 \times 2 \times 3 = 36$$

이 되어, 배수를 나열해서 찾은 최소공배수 36과 같다. 여기서 최대공약수 $G$, 최소공배수 $L$, 두 수 $A=G\times2$, $B=G\times3$ 사이의 관계도 보인다.

$$A \times B = (G\times2)\times(G\times3) = G\times(G\times2\times3) = G \times L$$

실제로 확인해 보면 $12\times18=216$이고 $6\times36=216$으로 같다. 이 관계 덕분에 최대공약수만 구하면 최소공배수는 계산으로 바로 얻을 수 있다.

## 구하는 방법

**약수를 나열해서 구하기**: 두 수의 약수를 각각 써 보고 공통인 것 중 가장 큰 수를 찾는다.

**배수를 나열해서 구하기**: 두 수의 배수를 각각 써 보고 공통인 것 중 가장 작은 수를 찾는다.

**공약수로 나누어 구하기**: 두 수를 공약수로 계속 나누어 가다가 더 이상 공통으로 나눌 수 없을 때, 나눈 공약수들을 모두 곱하면 최대공약수가 된다. 이때 나눈 공약수들과 마지막에 남은 몫을 모두 곱하면 최소공배수가 된다.

두 수를 각각 $A$, $B$라 하고 최대공약수를 $G$라 할 때, 다음 관계가 성립한다.

$$A \times B = G \times (\text{최소공배수})$$

## 예시

**16과 24의 최대공약수와 최소공배수 구하기**

16과 24를 공약수로 나누어 보면 다음과 같다.

- 2로 나누기: 16÷2=8, 24÷2=12
- 2로 나누기: 8÷2=4, 12÷2=6
- 2로 나누기: 4÷2=2, 6÷2=3
- 2와 3은 더 이상 공약수가 없으므로 멈춘다.

최대공약수는 나눈 수들을 곱한 값이다: $2 \times 2 \times 2 = 8$

최소공배수는 나눈 수들과 마지막 몫을 모두 곱한 값이다: $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 48$

확인: $16 \times 24 = 384$이고, $8 \times 48 = 384$로 같다.

## 🌍 실생활 예시

버스 정류장에서 A 버스는 15분마다, B 버스는 20분마다 온다고 하자. 두 버스가 동시에 도착한 뒤 다시 동시에 도착하는 시간은 15와 20의 최소공배수인 60분 후다. 반대로 사과 24개와 배 36개를 최대한 많은 바구니에 남김없이 똑같이 나눠 담으려면, 24와 36의 최대공약수인 12바구니에 담으면 된다.

## ⚠️ 흔한 실수

- **잘못된 생각**: 최대공약수와 최소공배수를 헷갈려서, 공약수 중 큰 것을 찾아야 하는데 배수를 나열한다. → 왜 틀렸는지: "공약수"는 두 수보다 작거나 같은 수이고, "공배수"는 두 수보다 크거나 같은 수라는 점을 기억해야 한다. 문제에서 "나눠 담기, 나눠주기"처럼 나누는 상황이면 최대공약수, "동시에 만나기, 딱 맞아떨어지기"처럼 반복되는 상황이면 최소공배수를 써야 한다.
- **잘못된 생각**: 공약수로 나눌 때 아무 수로나 나누다가, 두 수의 공약수가 아닌 수로 나눠서 계산을 틀린다. → 왜 틀렸는지: 반드시 두 수를 동시에 나눌 수 있는 공통된 수로만 나눠야 하며, 한쪽만 나눠지는 수를 쓰면 안 된다.
- **잘못된 생각**: 최소공배수를 구할 때 나눈 공약수들만 곱하고 마지막 몫을 곱하는 것을 빠뜨린다. → 왜 틀렸는지: 최소공배수는 "나눈 공약수들 × 마지막에 남은 두 몫"까지 모두 곱해야 완성된다.

## 확인 문제

1. 12와 20의 최대공약수와 최소공배수를 각각 구해 보자.
2. 어떤 반 학생들에게 연필 18자루와 지우개 24개를 최대한 많은 모둠에 남김없이 똑같이 나눠주려고 한다. 몇 모둠으로 나눌 수 있을까? 그리고 이때 왜 "최대공약수"를 구해야 하는지 자기 말로 설명해 보자.
3. 8과 12의 최대공약수는 4, 최소공배수는 24이다. $8 \times 12$와 $4 \times 24$를 각각 계산해서 두 값이 같은지 확인해 보자.

정답 보기:

1. 12와 20을 2로 나누면 6과 10, 다시 2로 나누면 3과 5가 되어 더 이상 공약수가 없다. 최대공약수는 $2 \times 2 = 4$, 최소공배수는 $2 \times 2 \times 3 \times 5 = 60$이다.
2. 18과 24의 최대공약수를 구하면 된다. 18과 24를 3으로 나누면 6과 8, 다시 2로 나누면 3과 4가 되어 최대공약수는 $3 \times 2 = 6$이다. 즉 6모둠으로 나눌 수 있다. 나누는 상황이므로 두 수를 동시에 나눌 수 있는 가장 큰 수, 곧 최대공약수가 필요하다.
3. $8 \times 12 = 96$, $4 \times 24 = 96$으로 두 값이 같다. 이는 (두 수의 곱) = (최대공약수) × (최소공배수)라는 관계 때문이다.



## 📜 역사

옛날 그리스에서는 땅을 측량하거나 물건을 똑같이 나누는 문제를 풀 때, 두 길이나 두 양을 공통으로 잴 수 있는 가장 큰 단위가 무엇인지 찾아야 했다. 그리스 수학자 유클리드는 기원전 300년경에 쓴 책 원론에서, 두 수를 번갈아 나누어 나머지가 0이 될 때까지 계속하면 최대공약수를 구할 수 있다는 방법을 정리했다. 이 방법은 오늘날 '유클리드 호제법'이라 불리며, 이 문서의 "공약수로 나누어 구하기" 방법과 같은 원리를 담고 있다. 최소공배수는 이후 분수의 통분처럼 서로 다른 수들을 같은 기준으로 맞춰야 하는 계산에서 자연스럽게 함께 쓰이게 되었다.

## 관련 개념

- 약수와 배수
- 나눗셈
- 곱셈
- 분수
- 소인수분해

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관련 개념:
- 약수와 배수 (/wiki/math/%EC%95%BD%EC%88%98%EC%99%80_%EB%B0%B0%EC%88%98)
- 나눗셈 (/wiki/math/%EB%82%98%EB%88%97%EC%85%88)
- 곱셈 (/wiki/math/%EA%B3%B1%EC%85%88)
- 분수 (/wiki/math/%EB%B6%84%EC%88%98)
- 소인수분해 (/wiki/math/%EC%86%8C%EC%9D%B8%EC%88%98%EB%B6%84%ED%95%B4)