# 짝수 근의 공식 분야: 대수 학교급: 중등 교육과정: 정규 교육과정 외 — 근의 공식의 속산 변형 (과거 교과서 참고 수록) 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%A7%9D%EC%88%98_%EA%B7%BC%EC%9D%98_%EA%B3%B5%EC%8B%9D --- > ⚔️ **어둠의 스킬** (한국) — 이차방정식 근의 공식의 속산 변형. 예전 교과서에는 참고로 실리기도 했지만 지금은 대부분 다루지 않아, 학교보다 학원과 수험가에서 전수되는 공식이 됐다. 전체 목록은 어둠의 스킬 문서에. ## 정의 **짝수 근의 공식**은 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$에서 일차항 계수 $b$가 짝수일 때, $b = 2b'$으로 두고 쓰는 근의 공식이다. $$x = \frac{-b' \pm \sqrt{b'^2 - ac}}{a}$$ 일반 근의 공식 $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$에 $b = 2b'$을 대입하면 $x = \dfrac{-2b' \pm \sqrt{4b'^2 - 4ac}}{2a} = \dfrac{-b' \pm \sqrt{b'^2 - ac}}{a}$로, 분자·분모의 2가 미리 약분된 꼴이다. ## 직관 일반 근의 공식으로 풀면 $b$가 짝수일 때 루트 안에서 4가 빠져나오고 분모 $2a$와 약분되는 일이 **매번 똑같이** 반복된다. 짝수 근의 공식은 그 약분을 미리 해 둔 것뿐이다. 새 공식이라기보다 "설거지를 미리 끝낸 근의 공식"이다. 계산량 차이는 뚜렷하다. 루트 안이 $b^2 - 4ac$ 대신 $b'^2 - ac$가 되어 숫자가 4분의 1로 작아지고, 마지막 약분 단계가 통째로 사라진다. ## 🧑‍🏫 쉬운 설명 이 공식에서 가장 흔한 사고는 **두 공식을 섞어 쓰는 것**이다. $b' = \frac{b}{2}$를 썼으면 루트 안은 $b'^2 - ac$($4ac$가 아니라 $ac$!)이고 분모는 $a$($2a$가 아니라!)다. 반만 바꾸면 반드시 틀린다. 헷갈리면 이렇게 기억하자 — 짝수 공식은 일반 공식에서 "4와 2가 지워진 다이어트 버전"이다. $-4ac \to -ac$, $2a \to a$, 그리고 $b \to b'$. 왜 이런 게 "어둠의 스킬" 취급을 받을까? 사실 수학적으로는 대입 한 번이면 유도되는 당연한 식이라 반칙성은 전혀 없다. 다만 요즘 교과서가 공식 개수를 줄이는 쪽이라 정식으로 안 가르칠 뿐이다. 그래서 시험에서 써도 감점 걱정은 없는, 어둠의 스킬 중 가장 밝은 스킬이다. 일차항이 짝수인 이차방정식은 시험에 매우 자주 나오므로($x^2 - 4x + 1 = 0$ 같은 꼴) 익혀 두면 계산 실수가 눈에 띄게 줄어든다. 핵심 한 줄: **$b$가 짝수면 반으로 접어서 넣는다 — 루트 안은 $b'^2 - ac$, 분모는 $a$.** ## 예시 - $x^2 + 4x + 1 = 0$ : $b' = 2$이므로 $x = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4 - 1}}{1} = -2 \pm \sqrt{3}$. - 일반 공식으로 검산: $x = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \dfrac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$ — 같지만 약분이 한 단계 더 필요했다. - $5x^2 - 6x - 2 = 0$ : $b' = -3$이므로 $x = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 + 10}}{5} = \dfrac{3 \pm \sqrt{19}}{5}$. ## 🌍 실생활 예시 - **한국 수험가의 표준 장비**: 고교 시험 문제의 이차방정식은 계산 편의상 일차항이 짝수인 경우가 압도적으로 많다. 그래서 학원가에서는 근의 공식보다 짝수 공식을 먼저 쓰라고 가르치기도 한다. - **판별식과의 연동**: 판별식도 같은 다이어트가 된다 — $b$가 짝수면 $\frac{D}{4} = b'^2 - ac$의 부호만 보면 된다. 이 표기는 교과서·참고서에도 등장한다. ## ⚠️ 흔한 실수 - **공식을 반만 변환** → 분모를 $2a$로 그대로 두거나, 루트 안을 $b'^2 - 4ac$로 쓰는 실수. 짝수 공식은 세 군데($b'$, $ac$, $a$)가 세트로 바뀐다. - **$b'$의 부호 실수** → $x^2 - 6x + 2 = 0$이면 $b' = -3$이고 공식의 $-b'$은 $+3$이다. 부호를 두 번 뒤집는 셈이라 헷갈리기 쉽다. - **홀수인데 반으로 접기** → $b = 5$처럼 홀수면 그냥 일반 근의 공식을 쓰는 것이 낫다. $b' = \frac{5}{2}$로도 수학적으로는 되지만 분수 계산이 더 번거로워져 속산의 의미가 없다. ## 확인 문제 1. $x^2 - 6x + 2 = 0$을 짝수 근의 공식으로 풀어라. 2. $3x^2 + 8x - 1 = 0$을 (a) 일반 근의 공식, (b) 짝수 근의 공식으로 각각 풀고, 어느 쪽 계산이 짧았는지 비교하라. 3. 일반 근의 공식에 $b = 2b'$을 직접 대입해 짝수 근의 공식을 유도하라. — 유도해 본 공식은 외울 필요 없이 잊어도 다시 만들 수 있다. 정답 보기: 1. $b' = -3$ : $x = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 - 2}}{1} = 3 \pm \sqrt{7}$. 2. (a) $x = \dfrac{-8 \pm \sqrt{64 + 12}}{6} = \dfrac{-8 \pm \sqrt{76}}{6} = \dfrac{-8 \pm 2\sqrt{19}}{6} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{19}}{3}$. (b) $b' = 4$ : $x = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16 + 3}}{3} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{19}}{3}$. 답은 같고, (b)는 $\sqrt{76}$을 정리하는 단계가 없다. 3. $x = \dfrac{-2b' \pm \sqrt{(2b')^2 - 4ac}}{2a} = \dfrac{-2b' \pm \sqrt{4(b'^2 - ac)}}{2a} = \dfrac{-2b' \pm 2\sqrt{b'^2 - ac}}{2a} = \dfrac{-b' \pm \sqrt{b'^2 - ac}}{a}$. ## 관련 개념 - 원본 공식: 이차방정식 - 같은 다이어트가 적용되는 판별식 ($\frac{D}{4}$ 판별) - 근을 직접 구하지 않고 다루는 근과 계수의 관계 - 다른 나라별 비공식 테크닉: 어둠의 스킬 --- 관련 개념: - 이차방정식 (/wiki/math/%EC%9D%B4%EC%B0%A8%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D) - 어둠의 스킬 (/wiki/math/%EC%96%B4%EB%91%A0%EC%9D%98_%EC%8A%A4%ED%82%AC) - 판별식 (/wiki/math/%ED%8C%90%EB%B3%84%EC%8B%9D) - 근과 계수의 관계 (/wiki/math/%EA%B7%BC%EA%B3%BC_%EA%B3%84%EC%88%98%EC%9D%98_%EA%B4%80%EA%B3%84)