# 절대부등식 분야: 대수 학교급: 고등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%A0%88%EB%8C%80%EB%B6%80%EB%93%B1%EC%8B%9D --- ## 정의 **절대부등식**(絶對不等式)은 문자를 포함한 부등식 중에서, 그 문자에 어떤 실수 값을 대입하더라도 항상 성립하는 부등식을 말한다. 예를 들어 모든 실수 $a$에 대해 $a^2 \ge 0$은 절대부등식이다. 반면 $x-1>0$처럼 특정 범위의 값을 대입할 때만 성립하는 부등식(예: 이차부등식, 일차부등식)은 조건부등식이라 하여 절대부등식과 구분한다. 절대부등식을 증명할 때는 보통 (좌변) $-$ (우변) $\ge 0$ 임을 보이거나, 완전제곱식 꼴로 바꾸어 "실수의 제곱은 항상 0 이상"이라는 사실을 이용한다. ## 직관 부등식 $x-1>0$은 $x$의 값에 따라 참이 되기도 거짓이 되기도 하는, 말하자면 "조건부 약속"이다. 반면 절대부등식은 어떤 값을 넣어도 절대 깨지지 않는 약속이다. 이 무너지지 않는 성질의 뿌리는 대개 "실수의 제곱은 결코 음수가 될 수 없다"는 사실 하나로 귀결된다. 예컨대 $(a-b)^2 \ge 0$이라는 당연한 사실을 전개하면 $a^2+b^2 \ge 2ab$라는 절대부등식이 튀어나온다. 즉 절대부등식은 대개 "완전제곱식은 0 이상"이라는 하나의 씨앗에서 자라난 나무와 같다. ## 성질(증명 방법) - **차를 이용한 증명**: $A \ge B$를 보이려면 $A-B \ge 0$임을 보인다. - **완전제곱식 이용**: $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 \ge 0$이므로 $a^2+b^2 \ge 2ab$ (등호는 $a=b$일 때 성립). 이 부등식은 $a,b$의 부호와 무관하게 모든 실수에서 성립한다. - **절대값의 삼각부등식**: 모든 실수 $a,b$에 대해 $|a|+|b| \ge |a+b|$ (등호는 $ab \ge 0$일 때). - **산술-기하 평균 부등식**: $a\ge 0,\ b\ge 0$일 때 $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ (등호는 $a=b$일 때). 이 부등식은 음수가 아닌 실수에서만 성립하므로, 위의 $a^2+b^2\ge 2ab$와는 성립 조건이 다르다는 점에 주의해야 한다. ## 예시 **예 1.** 모든 실수 $a,b$에 대해 $a^2+b^2 \ge 2ab$가 성립함을 보이자. $$a^2+b^2-2ab=(a-b)^2 \ge 0$$ 이므로 $a^2+b^2 \ge 2ab$이고, 등호는 $a=b$일 때 성립한다. **예 2.** 모든 실수 $a$에 대해 $a^2+1 \ge 2a$가 성립함을 보이자. $$a^2+1-2a=(a-1)^2 \ge 0$$ 따라서 $a^2+1 \ge 2a$이며, 등호는 $a=1$일 때 성립한다. 아래는 $f(a)=(a-1)^2$의 그래프로, $x$축 아래로 절대 내려가지 않는 모습을 보여 준다. 그래프: y=(x-1)^2 (정의역 -3~5) **예 3.** $a>0$일 때 $a+\dfrac{1}{a} \ge 2$가 성립함을 보이자. 산술-기하 평균 부등식에 의해 $$a+\frac{1}{a} \ge 2\sqrt{a\cdot\frac{1}{a}}=2$$ 이고, 등호는 $a=\dfrac{1}{a}$, 즉 $a=1$일 때 성립한다. ## ⚠️ 흔한 실수 - **잘못된 생각**: $a^2+b^2 \ge 2ab$도 산술-기하 평균 부등식처럼 $a,b$가 양수여야만 성립한다고 생각한다. **왜 틀렸는지**: $a^2+b^2 \ge 2ab$는 $(a-b)^2 \ge 0$에서 나온 것으로 $a,b$의 부호와 무관하게 모든 실수에서 성립한다. 반면 $\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$는 근호 안이 음수가 되면 안 되므로 $a\ge0,\ b\ge0$이 반드시 필요하다. 두 부등식의 성립 조건을 혼동하지 않아야 한다. - **잘못된 생각**: $a \ge b$이면 양변을 제곱해도 $a^2 \ge b^2$가 항상 성립한다고 생각한다. **왜 틀렸는지**: 반례로 $a=-1,\ b=-3$이면 $a \ge b$이지만 $a^2=1 < 9=b^2$이다. 제곱은 부호에 따라 대소 관계가 뒤집힐 수 있으므로, 이 성질을 이용해 절대부등식을 증명할 때는 반드시 (좌변)$-$(우변)의 부호를 직접 따져야지 "양변 제곱"을 성질처럼 함부로 쓰면 안 된다. - **잘못된 생각**: 완전제곱식으로 유도한 절대부등식은 등호가 성립하는 경우가 없다고 생각하고 늘 $>$로 쓴다. **왜 틀렸는지**: $(a-b)^2 \ge 0$은 $a=b$일 때 정확히 $0$이 되므로 등호가 실제로 존재한다. 등호 성립 조건을 확인하지 않으면 부등식의 최솟값(또는 최댓값)을 구하는 문제에서 답을 놓치게 된다. ## 확인 문제 1. 모든 실수 $a,b$에 대해 $a^2+b^2 \ge 2ab$가 성립함을 증명하고, 등호가 성립하는 경우를 구하시오. 2. $a>0$일 때 $a+\dfrac{4}{a} \ge 4$가 성립함을 증명하고, 등호 성립 조건을 구하시오. 3. 다음 중 절대부등식인 것을 모두 고르시오. ① $x^2 \ge 0$ (단, $x$는 실수) ② $x-1>0$ ③ $(x-1)^2 \ge 0$ ④ $x^2+1>0$ 정답 보기: 1. $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2 \ge 0$이므로 성립. 등호는 $a=b$일 때. 2. 산술-기하 평균 부등식에 의해 $a+\dfrac{4}{a} \ge 2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}=2\sqrt{4}=4$. 등호는 $a=\dfrac{4}{a}$, 즉 $a=2$일 때. 3. ①, ③, ④ — 모두 어떤 실수를 대입해도 항상 참이다. ②는 $x=0$일 때 거짓이 되므로 조건부등식이다. ## 관련 개념 - 부등식 — 절대부등식과 조건부등식을 구분하는 기준이 되는 상위 개념 - 실수 — 절대부등식은 실수 전체에서 성립함을 확인해야 함 - 이차부등식 — 조건부등식의 대표적인 예로, 절대부등식과의 차이를 비교하기 좋음 - 산술-기하 평균 부등식 — 대표적인 절대부등식이자 최댓값·최솟값 문제의 핵심 도구 - 판별식 — 이차식이 항상 양수(또는 음수)임을 보일 때 판별식 조건으로 절대부등식을 판정하는 데 활용됨 --- 관련 개념: - 이차부등식 (/wiki/math/%EC%9D%B4%EC%B0%A8%EB%B6%80%EB%93%B1%EC%8B%9D) - 일차부등식 (/wiki/math/%EC%9D%BC%EC%B0%A8%EB%B6%80%EB%93%B1%EC%8B%9D) - 부등식 (/wiki/math/%EB%B6%80%EB%93%B1%EC%8B%9D) - 산술-기하 평균 부등식 (/wiki/math/%EC%82%B0%EC%88%A0-%EA%B8%B0%ED%95%98_%ED%8F%89%EA%B7%A0_%EB%B6%80%EB%93%B1%EC%8B%9D) - 실수 (/wiki/math/%EC%8B%A4%EC%88%98) - 판별식 (/wiki/math/%ED%8C%90%EB%B3%84%EC%8B%9D)