# 자연수의 혼합 계산

분야: 대수
학교급: 초등
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%9E%90%EC%97%B0%EC%88%98%EC%9D%98_%ED%98%BC%ED%95%A9_%EA%B3%84%EC%82%B0

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<!-- prereq: 자연수, 덧셈과 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 -->

## 정의

**자연수의 혼합 계산**이란 덧셈(+), 뺄셈(-), 곱셈(×), 나눗셈(÷)이 한 식 안에 두 가지 이상 섞여 있을 때, 정해진 순서에 따라 계산하는 것을 말합니다. 아무 순서로나 계산하면 사람마다 답이 달라지기 때문에, 모두가 같은 답을 얻도록 다음과 같은 순서를 약속으로 정해 두었습니다.

1. ( ) 괄호가 있으면 괄호 안을 가장 먼저 계산합니다.
2. 곱셈과 나눗셈을 덧셈과 뺄셈보다 먼저 계산합니다.
3. 같은 순위(둘 다 곱셈·나눗셈이거나 둘 다 덧셈·뺄셈)끼리는 왼쪽에서부터 순서대로 계산합니다.

## 직관

식을 요리 레시피라고 생각해 봅시다. "재료를 씻고, 썰고, 볶는다"처럼 순서가 정해져 있어야 누가 만들어도 같은 요리가 나옵니다. 계산도 마찬가지입니다. 순서를 안 지키면 같은 식인데도 사람마다 다른 답을 내놓게 됩니다.

곱셈과 나눗셈을 먼저 하는 이유는, 곱셈이 사실은 "여러 번 더하기"를 줄여 쓴 것이기 때문입니다. 예를 들어 $2 + 3 \times 4$는 "2에 (3을 4번 더한 값)을 더하라"는 뜻이지, "2와 3을 더한 다음 4번 더하라"는 뜻이 아닙니다. 그래서 3×4를 먼저 하나의 덩어리로 묶어서 계산해야 원래 뜻이 살아납니다.

## 예시

**예시 1**: $5 + 3 \times 2$
- 곱셈 먼저: $3 \times 2 = 6$
- 그다음 덧셈: $5 + 6 = 11$

**예시 2**: $(5 + 3) \times 2$
- 괄호 먼저: $5 + 3 = 8$
- 그다음 곱셈: $8 \times 2 = 16$

**예시 3**: $20 - 12 \div 4 + 3$
- 나눗셈 먼저: $12 \div 4 = 3$
- 남은 식: $20 - 3 + 3$
- 왼쪽부터 차례로: $20 - 3 = 17$, $17 + 3 = 20$

## 🌍 실생활 예시

문구점에서 300원짜리 지우개 2개와 500원짜리 연필 1자루를 산다고 하면, 전체 값은 $300 \times 2 + 500$으로 나타낼 수 있습니다. 이때 곱셈을 먼저 해서 지우개 값 600원을 먼저 구한 다음, 연필 값 500원을 더해야 합니다($600 + 500 = 1100$원). 만약 순서를 무시하고 앞에서부터 $300 \times 2$가 아니라 $300 + 500$을 먼저 해 버리면 전혀 다른(틀린) 금액이 나옵니다.

## ⚠️ 흔한 실수

- **잘못된 생각**: 식은 무조건 왼쪽에서부터 순서대로 계산하면 된다. → **왜 틀렸는지**: 덧셈·뺄셈보다 곱셈·나눗셈을 먼저 계산해야 합니다. $5 + 3 \times 2$를 왼쪽부터 계산하면 $(5+3) \times 2 = 16$이 되어 버리지만, 올바른 답은 $5 + 6 = 11$입니다.
- **잘못된 생각**: 괄호가 있어도 눈에 잘 안 띄면 그냥 지나쳐도 된다. → **왜 틀렸는지**: 괄호는 "이 안을 가장 먼저, 하나의 덩어리로 계산하라"는 강한 표시입니다. 예시 2처럼 괄호가 있고 없고에 따라 $11$과 $16$처럼 완전히 다른 답이 나옵니다.
- **잘못된 생각**: 뺄셈이 여러 번 나오면 뒤에서부터 계산해도 상관없다. → **왜 틀렸는지**: 뺄셈과 나눗셈은 순서를 바꾸면 값이 달라집니다. $20 - 12 \div 4 + 3$에서 뒤의 $4+3$을 먼저 계산해 버리면 답이 달라지므로, 반드시 왼쪽에서 오른쪽 순서를 지켜야 합니다.

## 확인 문제

1. $4 + 6 \times 3$을 계산해 봅시다. 그리고 만약 왼쪽부터 순서 없이 계산하면 어떤 틀린 답이 나오는지도 써 보고, 왜 그 답이 틀렸는지 설명해 보세요.
2. $(9 - 5) \times 3 + 2$를 계산해 보세요.
3. 초콜릿이 한 봉지에 4개씩 들어 있는 봉지 3개와, 낱개 초콜릿 2개가 있습니다. 전체 초콜릿 개수를 구하는 식을 세우고 계산해 보세요.

정답 보기:

1. 올바른 계산: 곱셈 먼저 $6 \times 3 = 18$, 그다음 $4 + 18 = 22$. 순서를 무시하고 왼쪽부터 계산하면 $4 + 6 = 10$, $10 \times 3 = 30$이 되어 버리는데, 이는 "4와 6을 더한 값을 3번 더하라"는 전혀 다른 뜻이 되어 틀립니다. 원래 식의 뜻은 "4에 (6을 3번 더한 값)을 더하라"이므로 곱셈을 먼저 묶어 계산해야 합니다.
2. 괄호 먼저: $9 - 5 = 4$. 그다음 곱셈: $4 \times 3 = 12$. 마지막 덧셈: $12 + 2 = 14$.
3. 식: $4 \times 3 + 2$. 곱셈 먼저 $4 \times 3 = 12$, 그다음 $12 + 2 = 14$. 초콜릿은 모두 14개입니다.



## 관련 개념

- 자연수
- 덧셈과 뺄셈
- 곱셈
- 나눗셈
- 문자와 식

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관련 개념:
- 자연수 (/wiki/math/%EC%9E%90%EC%97%B0%EC%88%98)
- 덧셈과 뺄셈 (/wiki/math/%EB%8D%A7%EC%85%88%EA%B3%BC_%EB%BA%84%EC%85%88)
- 곱셈 (/wiki/math/%EA%B3%B1%EC%85%88)
- 나눗셈 (/wiki/math/%EB%82%98%EB%88%97%EC%85%88)
- 문자와 식 (/wiki/math/%EB%AC%B8%EC%9E%90%EC%99%80_%EC%8B%9D)