# 일차식의 계산

분야: 대수
학교급: 중등
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%9D%BC%EC%B0%A8%EC%8B%9D%EC%9D%98_%EA%B3%84%EC%82%B0

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## 정의

**일차식**은 문자의 차수가 1인 다항식을 말한다. 즉 $ax+b$ (여기서 $a$, $b$는 상수이고 $a \neq 0$) 꼴로 나타낼 수 있는 식이다. 예를 들어 $2x+3$, $-x+5$, $\dfrac{1}{2}y-1$은 모두 일차식이다.

**일차식의 계산**이란 일차식끼리 더하거나 빼거나, 수를 곱하거나 나누어서 더 간단한 하나의 일차식으로 정리하는 과정을 말한다. 이때 핵심 도구는 **동류항**(문자와 차수가 같은 항)을 하나로 합치는 것과, **분배법칙** $a(b+c) = ab+ac$를 이용해 괄호를 풀어내는 것이다.

## 직관

일차식의 계산은 "같은 종류끼리 모으기"라고 생각하면 된다. 사과 $2$개와 배 $3$개가 있는 바구니에 사과 $1$개와 배 $2$개를 더 넣으면, 사과는 사과끼리 배는 배끼리 더해서 "사과 $3$개, 배 $5$개"가 된다. 여기서 사과 자리에 $x$, 배 자리에 $y$를 놓으면 $(2x+3y) + (x+2y) = 3x+5y$가 된다. 즉 문자 부분이 같은 항(동류항)끼리만 계수를 더하거나 뺄 수 있고, 문자가 다르면 절대 합쳐지지 않는다.

괄호를 풀 때는 괄호 앞의 수를 괄호 안 모든 항에 "고르게 나눠 곱해준다"고 생각하면 된다. 특히 괄호 앞에 $-$ 부호가 있으면 괄호 안 모든 항의 부호가 뒤바뀐다는 점을 그림처럼 떠올리면 실수를 줄일 수 있다.

## 계산 규칙

- **덧셈·뺄셈**: 동류항의 계수끼리만 더하거나 뺀다. $ax+bx = (a+b)x$
- **괄호 풀기(분배법칙)**: $a(b+c) = ab+ac$, $-(b+c) = -b-c$
- **수와의 곱셈**: 일차식의 각 항에 그 수를 곱한다. $k(ax+b) = kax+kb$
- **수로 나눗셈**: 나누는 수의 역수를 곱하는 것과 같다. $(ax+b) \div k = \dfrac{a}{k}x+\dfrac{b}{k}$ (단 $k \neq 0$)

## 예시

**예시 1** (덧셈): $(3x+2) + (5x-4)$
$= 3x+2+5x-4 = (3x+5x)+(2-4) = 8x-2$

**예시 2** (뺄셈, 괄호 앞 부호 주의): $(4x-1) - (2x-6)$
$= 4x-1-2x+6 = (4x-2x)+(-1+6) = 2x+5$

**예시 3** (분배법칙): $3(2x-5) = 6x-15$

**예시 4** (복합 계산): $2(x+3) - (3x-1)$
$= 2x+6-3x+1 = -x+7$

일차식 $y=2x-2$를 그래프로 그리면 계산 결과가 어떤 직선을 나타내는지 확인할 수 있다.


그래프: y=2*x-2 (정의역 -5~5)


## ⚠️ 흔한 실수

- **잘못된 생각**: $-(2x-3)$을 $-2x-3$으로 계산한다.
  **왜 틀렸는가**: 괄호 앞의 $-$는 괄호 안 모든 항의 부호를 바꾼다. $-(2x-3) = -2x+3$이 맞다. $-3$의 부호까지 바뀐다는 것을 놓치기 쉽다.

- **잘못된 생각**: $2x+3$을 더 계산해서 $5x$로 만든다.
  **왜 틀렸는가**: $2x$와 $3$은 문자 부분이 다른(동류항이 아닌) 항이므로 합칠 수 없다. 상수항과 $x$항은 서로 다른 종류이므로 $2x+3$이 이미 가장 간단한 형태다.

- **잘못된 생각**: $x$ 앞에 계수가 안 보이면 계수가 $0$이거나 없다고 생각한다.
  **왜 틀렸는가**: $x$는 계수가 $1$인 항, 즉 $1 \cdot x$를 줄여 쓴 것이다. 예를 들어 $x - 3x = 1x-3x = -2x$인데, 앞의 $1$을 빠뜨리면 부호나 계수 계산에서 실수하기 쉽다.

## 확인 문제

1. $(5x-2) + (-3x+7)$을 계산하시오.
2. $4(x-2) - 2(3x+1)$을 계산하시오.
3. $\dfrac{1}{2}(6x-4)$를 계산하시오.

정답 보기:

1. $5x-2-3x+7 = (5x-3x)+(-2+7) = 2x+5$
2. $4x-8-6x-2 = (4x-6x)+(-8-2) = -2x-10$
3. $6x \times \dfrac{1}{2} - 4 \times \dfrac{1}{2} = 3x-2$



## 관련 개념

- 문자와 식 — 문자를 이용해 식을 나타내는 기초 개념
- 단항식과 다항식의 계산 — 일차식을 포함한 다항식 계산의 일반적 틀
- 다항식 — 여러 항으로 이루어진 식의 정의
- 일차방정식 — 일차식을 이용해 등식을 세우고 푸는 단원
- 일차부등식 — 일차식의 계산을 부등식에 적용하는 단원

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관련 개념:
- 문자와 식 (/wiki/math/%EB%AC%B8%EC%9E%90%EC%99%80_%EC%8B%9D)
- 단항식과 다항식의 계산 (/wiki/math/%EB%8B%A8%ED%95%AD%EC%8B%9D%EA%B3%BC_%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D%EC%9D%98_%EA%B3%84%EC%82%B0)
- 다항식 (/wiki/math/%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D)
- 일차방정식 (/wiki/math/%EC%9D%BC%EC%B0%A8%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D)
- 일차부등식 (/wiki/math/%EC%9D%BC%EC%B0%A8%EB%B6%80%EB%93%B1%EC%8B%9D)