# 인수분해

분야: 대수
학교급: 중등
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%9D%B8%EC%88%98%EB%B6%84%ED%95%B4

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> 이 개념은 교육과정 메모가 없어 표준적인 중등 수준 정의를 따른다.

## 정의

**인수분해**란 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식(또는 단항식)의 곱으로 나타내는 것을 말한다. 이때 곱을 이루는 각각의 식을 그 다항식의 **인수**라고 한다.

예를 들어 $x^2+5x+6$ 이라는 다항식은

$$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$$

와 같이 $(x+2)$와 $(x+3)$의 곱으로 나타낼 수 있는데, 이렇게 곱의 꼴로 바꾸는 과정 전체를 인수분해라고 한다.

인수분해는 곱셈 공식을 이용해 여러 개의 항을 하나의 곱으로 펼치는 전개와 정반대의 과정이다. 즉 전개가 "곱 → 합"이라면, 인수분해는 "합 → 곱"이다.

## 직관

숫자를 소인수의 곱으로 나타내는 소인수분해를 떠올려 보자. $12=2\times2\times3$ 처럼 하나의 수를 더 이상 쪼갤 수 없는 곱으로 나누면 그 수의 성질(약수, 배수 등)을 쉽게 파악할 수 있다.

다항식도 마찬가지다. $x^2+5x+6$은 덧셈으로 이루어져 있어서 그 값이 언제 $0$이 되는지 바로 알기 어렵지만, $(x+2)(x+3)$으로 인수분해하면 두 인수 중 하나만 $0$이 되어도 전체 값이 $0$이 된다는 사실이 눈에 보인다. 즉 인수분해는 복잡한 덧셈식을 **곱셈식으로 바꿔서 구조를 드러내는 작업**이라고 이해하면 된다. 이 성질은 이후 이차방정식의 해를 구할 때 핵심적으로 쓰인다.

## 성질 (기본 인수분해 공식)

곱셈 공식을 거꾸로 읽으면 다음과 같은 기본 인수분해 공식을 얻는다. 여기서 $a,\,b$는 임의의 수나 문자를 나타낸다.

- 공통인수 묶기: $ma+mb=m(a+b)$
- 완전제곱식: $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$,  $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
- 합차 공식: $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
- 이차식: $x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$

## 예시

**예시 1 (공통인수)**: $6x^2+9x = 3x(2x+3)$ — 모든 항에 공통으로 들어 있는 $3x$를 밖으로 묶어냈다.

**예시 2 (합차 공식)**: $x^2-16 = x^2-4^2 = (x+4)(x-4)$

**예시 3 (이차식)**: $x^2-5x+6$을 인수분해하려면 곱해서 $6$, 더해서 $-5$가 되는 두 수를 찾는다. $-2$와 $-3$이 이를 만족하므로

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$

이 인수분해를 이용하면 이차방정식 $x^2-5x+6=0$의 해가 $x=2$ 또는 $x=3$임을 바로 알 수 있다. 실제로 함수 $y=x^2-5x+6$의 그래프는 아래처럼 $x=2,\,3$에서 $x$축과 만난다.


그래프: y=x^2-5*x+6 (정의역 -1~6)


## 관련 개념

- 소인수분해 — 수를 곱으로 나누는 아이디어의 출발점
- 곱셈 공식 — 인수분해와 서로 반대 방향의 전개 공식
- 다항식, 문자와 식 — 인수분해가 다루는 대상
- 이차방정식 — 인수분해로 해를 구하는 대표적 응용
- 이차함수 — 인수분해를 통해 그래프가 $x$축과 만나는 점을 찾음

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관련 개념:
- 다항식 (/wiki/math/%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D)
- 곱셈 공식 (/wiki/math/%EA%B3%B1%EC%85%88_%EA%B3%B5%EC%8B%9D)
- 단항식과 다항식의 계산 (/wiki/math/%EB%8B%A8%ED%95%AD%EC%8B%9D%EA%B3%BC_%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D%EC%9D%98_%EA%B3%84%EC%82%B0)
- 소인수분해 (/wiki/math/%EC%86%8C%EC%9D%B8%EC%88%98%EB%B6%84%ED%95%B4)
- 이차방정식 (/wiki/math/%EC%9D%B4%EC%B0%A8%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D)
- 문자와 식 (/wiki/math/%EB%AC%B8%EC%9E%90%EC%99%80_%EC%8B%9D)
- 이차함수 (/wiki/math/%EC%9D%B4%EC%B0%A8%ED%95%A8%EC%88%98)