# 이항분포 분야: 확률통계 학교급: 고등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%9D%B4%ED%95%AD%EB%B6%84%ED%8F%AC --- ## 정의 한 번의 시행에서 어떤 사건이 일어날 확률이 $p$로 일정할 때, 이 시행을 서로 독립적으로 $n$번 반복하는 것을 **독립시행**이라 한다. 이때 사건이 일어나는 횟수를 확률변수 $X$라 하면, $X$는 $0, 1, 2, \dots, n$의 값을 가지며 각 값에 대한 확률은 다음과 같다. $$P(X=r) = {}_n\mathrm{C}_r\, p^r (1-p)^{n-r} \quad (r=0,1,2,\dots,n)$$ 여기서 ${}_n\mathrm{C}_r$(엔 씨 알)는 $n$개 중 $r$개를 뽑는 조합의 수이다. 이와 같은 확률분포를 **이항분포**라 하고, $X$가 이항분포를 따를 때 $X \sim B(n, p)$($X$는 모수 $n$, $p$인 이항분포를 따른다고 읽는다)로 나타낸다. ## 직관 동전을 10번 던져서 앞면이 몇 번 나올지를 생각해 보자. 앞면이 나오는 횟수는 매번 다를 수 있지만, "몇 번 나올 확률이 얼마인가"는 정확히 계산할 수 있다. 이때 앞면이 정확히 $r$번 나오는 경우는 전체 시행 중 어느 $r$번이 앞면인지를 고르는 방법의 수(${}_n\mathrm{C}_r$)에, 그 배열 하나가 나올 확률($p^r(1-p)^{n-r}$)을 곱한 것이다. 즉 이항분포는 "성공·실패만 있는 독립시행을 여러 번 반복했을 때, 성공 횟수가 어떻게 분포하는가"를 나타내는 확률분포다. ## 성질 $X \sim B(n,p)$일 때 평균, 분산, 표준편차는 다음과 같다. $$E(X) = np, \qquad V(X) = np(1-p), \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$$ $n$이 충분히 클 때 이항분포는 정규분포에 가까워진다는 사실도 알려져 있다(정규분포로의 근사). ## 예시 한 문제를 맞힐 확률이 $\dfrac{1}{4}$인 사지선다형 문제를 5문제 풀 때, 정확히 2문제를 맞힐 확률을 구해 보자. 성공확률 $p=\dfrac14$, 시행 횟수 $n=5$인 이항분포 $B\!\left(5, \dfrac14\right)$를 따르므로 $$P(X=2) = {}_5\mathrm{C}_2 \left(\frac14\right)^2\left(\frac34\right)^3 = 10 \times \frac{1}{16} \times \frac{27}{64} = \frac{270}{1024} = \frac{135}{512}$$ 또한 평균과 분산은 $E(X) = 5 \times \dfrac14 = \dfrac54$, $V(X) = 5 \times \dfrac14 \times \dfrac34 = \dfrac{15}{16}$이다. ## 🌍 실생활 예시 공장에서 만든 제품 중 평균 3%가 불량품이라고 하자. 하루 생산량에서 무작위로 200개를 뽑아 검사할 때 불량품이 몇 개 나올지는 $B(200, 0.03)$을 따르는 이항분포로 모형화된다. 품질관리 담당자는 이 분포의 평균($200 \times 0.03 = 6$개)과 표준편차를 이용해 "불량품이 10개 이상 나오면 비정상"과 같은 기준선을 세운다. 여론조사에서 특정 후보 지지율을 추정할 때도, 응답자 중 지지자 수가 이항분포를 따른다는 사실이 표본오차 계산의 근거가 된다. ## ⚠️ 흔한 실수 - **잘못된 생각**: ${}_n\mathrm{C}_r$을 빼먹고 $P(X=r) = p^r(1-p)^{n-r}$이라고 계산한다. → **왜 틀렸는가**: 이 값은 "정해진 한 가지 순서"로 성공이 나올 확률일 뿐이다. $r$번의 성공이 $n$번 중 어느 자리에서 나오든 상관없으므로, 가능한 자리 배치의 수인 ${}_n\mathrm{C}_r$을 반드시 곱해야 한다. - **잘못된 생각**: 분산을 $V(X) = np$로 계산한다(평균 공식과 혼동). → **왜 틀렸는가**: 분산에는 실패확률 $(1-p)$가 추가로 곱해져 $V(X)=np(1-p)$이다. $p=1$이면 매번 반드시 성공하므로 결과가 항상 같아 분산이 0이어야 하는데, $np$로 계산하면 이 사실과 맞지 않는다. - **잘못된 생각**: 독립시행이 아닌 상황(예: 주머니에서 공을 꺼내고 다시 넣지 않는 경우)에도 이항분포 공식을 그대로 적용한다. → **왜 틀렸는가**: 이항분포는 각 시행에서 성공확률 $p$가 항상 일정하고 시행끼리 서로 영향을 주지 않을 때만 성립한다. 비복원추출처럼 한 번의 결과가 다음 시행의 확률을 바꾸는 경우에는 이항분포가 아니다. ## 확인 문제 1. 어떤 사건이 일어날 확률이 $p$인 독립시행을 $n$번 반복할 때, 성공 횟수가 정확히 $r$번일 확률을 나타내는 식 $P(X=r) = {}_n\mathrm{C}_r p^r(1-p)^{n-r}$에서, $n=3$인 경우 $r=0,1,2,3$ 각각의 확률을 모두 구하여 더해 보라. 그 합이 왜 항상 1이 되어야 하는지도 설명하라. 2. 한 개의 주사위를 60번 던질 때 3의 배수의 눈이 나오는 횟수를 $X$라 하자. $X$가 따르는 이항분포를 $B(n,p)$ 꼴로 쓰고, $E(X)$와 $V(X)$를 구하라. 3. 어떤 야구선수의 타율(안타를 칠 확률)이 0.25일 때, 이 선수가 타석에 4번 설 때 안타를 정확히 1번 칠 확률을 구하라. 정답 보기: 1. $r=0$: $(1-p)^3$, $r=1$: $3p(1-p)^2$, $r=2$: $3p^2(1-p)$, $r=3$: $p^3$이고, 이 넷을 더하면 $\{p+(1-p)\}^3 = 1^3 = 1$이 된다(이항정리). 확률의 총합은 반드시 "일어날 수 있는 모든 경우"를 포함하므로 1이어야 한다. 2. 3의 배수(3, 6)가 나올 확률은 $p=\dfrac26=\dfrac13$이므로 $X \sim B\!\left(60, \dfrac13\right)$이다. $E(X) = 60 \times \dfrac13 = 20$, $V(X) = 60 \times \dfrac13 \times \dfrac23 = \dfrac{120}{9} = \dfrac{40}{3}$. 3. $X \sim B(4, 0.25)$이므로 $P(X=1) = {}_4\mathrm{C}_1 (0.25)^1(0.75)^3 = 4 \times 0.25 \times 0.421875 = 0.421875$, 즉 약 $\dfrac{27}{64}$이다. ## 관련 개념 - 확률변수,확률분포 — 이항분포는 확률변수의 분포 중 하나이다. - 독립시행 — 이항분포가 성립하기 위한 핵심 전제 조건이다. - 조합 — 확률 공식의 ${}_n\mathrm{C}_r$ 계산에 쓰인다. - 정규분포 — $n$이 커지면 이항분포는 정규분포에 가까워진다. - 통계적 추정 — 표본에서 얻은 이항분포 결과로 모비율을 추정하는 데 활용된다. --- 관련 개념: - 정규분포 (/wiki/math/%EC%A0%95%EA%B7%9C%EB%B6%84%ED%8F%AC) - 확률변수,확률분포 (/wiki/math/%ED%99%95%EB%A5%A0%EB%B3%80%EC%88%98%2C%ED%99%95%EB%A5%A0%EB%B6%84%ED%8F%AC) - 독립시행 (/wiki/math/%EB%8F%85%EB%A6%BD%EC%8B%9C%ED%96%89) - 조합 (/wiki/math/%EC%A1%B0%ED%95%A9) - 통계적 추정 (/wiki/math/%ED%86%B5%EA%B3%84%EC%A0%81_%EC%B6%94%EC%A0%95)