# 역행렬 분야: 대수 학교급: 고등 교육과정: 3차~2007 개정 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%97%AD%ED%96%89%EB%A0%AC --- > 이 개념은 3차~2007 개정 교육과정의 일반계 고교 과정에 있었고, 2009 개정에서 삭제되었다. ## 정의 정사각행렬 $A$에 대해 $AX = XA = E$ (단위행렬)를 만족하는 행렬 $X$가 존재하면, $X$를 $A$의 **역행렬**이라 하고 $A^{-1}$로 쓴다. $2 \times 2$ 행렬 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$는 $ad - bc \neq 0$일 때만 역행렬을 가지며: $$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$ ## 직관 수에서 $3$의 역수 $\frac{1}{3}$이 "3을 곱한 것을 되돌리는 수"이듯, 역행렬은 "$A$라는 변환을 되돌리는 변환"이다 (일차변환 관점). 판별량 $ad - bc$가 $0$이라는 것은 변환이 평면을 직선이나 점으로 짜부라뜨린다는 뜻이고, 짜부라진 정보는 복원할 수 없으므로 역행렬이 없다. $ad-bc$는 변환이 넓이를 몇 배로 만드는지를 나타내는 양이기도 하다 (대학 과정의 행렬식). ## 🧑‍🏫 쉬운 설명 역행렬을 처음 만나면 "왜 이런 게 필요하지?" 싶을 수 있다. 답은 **행렬에는 나눗셈이 없기 때문**이다. 수에서는 $3x=6$을 양변을 $3$으로 나눠 풀지만, 행렬 방정식 $AX=B$에서는 "$A$로 나눈다"는 연산이 아예 없다. 대신 곱해서 원래대로 되돌려 주는 행렬, 즉 역행렬 $A^{-1}$을 곱해 $A$를 지운다. 수의 나눗셈이 사실 "역수를 곱하기"였던 것과 똑같은 발상이다. 여기서 주의할 게 순서다. 행렬 곱은 순서를 바꾸면 결과가 달라지므로($AB \neq BA$), 역행렬을 왼쪽에 곱하는지 오른쪽에 곱하는지가 중요하다. $AX=B$에서는 $A$가 $X$의 **왼쪽**에 있으니 역행렬도 양변 왼쪽에 곱해 $A^{-1}AX = A^{-1}B$, 곧 $X = A^{-1}B$가 된다. 성질 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$에서 순서가 뒤집히는 것도 같은 맥락이다. 옷을 "양말 $\to$ 신발" 순으로 신었다면 벗을 땐 "신발 $\to$ 양말" 순으로 되짚어야 하듯, 되돌릴 때는 나중에 한 것부터 푼다. 그리고 $2 \times 2$ 행렬에서 $ad-bc$가 $0$이면 역행렬이 없다. 공식 $\frac{1}{ad-bc}(\cdots)$에서 이 값으로 나누는데 $0$으로는 나눌 수 없기 때문이다. 계산 전에 $ad-bc$부터 확인하는 습관을 들이면 헛계산을 줄일 수 있다. ## 성질 - $(A^{-1})^{-1} = A$ - $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ — 순서가 뒤집힌다: "신발 신고 양말 벗을 수 없다"(행렬의 연산의 비가환성 때문) ## 예시: 연립방정식 풀이 $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 4y = 11 \end{cases}$ 은 행렬로 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}$ 이고, 양변에 역행렬을 곱하면: $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{1 \cdot 4 - 2 \cdot 3}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$ $ad - bc = 0$인 경우가 바로 연립일차방정식이 해가 없거나(불능) 무수히 많은(부정) 경우에 대응한다. ## 관련 개념 - 전제 구조: 행렬, 행렬의 연산 - 응용: 연립일차방정식, 일차변환의 역변환 --- 관련 개념: - 일차변환 (/wiki/math/%EC%9D%BC%EC%B0%A8%EB%B3%80%ED%99%98) - 행렬의 연산 (/wiki/math/%ED%96%89%EB%A0%AC%EC%9D%98_%EC%97%B0%EC%82%B0) - 연립일차방정식 (/wiki/math/%EC%97%B0%EB%A6%BD%EC%9D%BC%EC%B0%A8%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D) - 행렬 (/wiki/math/%ED%96%89%EB%A0%AC)