# 수열의 극한

분야: 해석
학교급: 고등
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%88%98%EC%97%B4%EC%9D%98_%EA%B7%B9%ED%95%9C

---

## 정의

수열 $\{a_n\}$에서 $n$(항의 번호)이 한없이 커질 때, $a_n$의 값이 어떤 일정한 값 $L$에 한없이 가까워지면 수열 $\{a_n\}$은 $L$에 **수렴**한다고 하고, 이를

$$\lim_{n\to\infty} a_n = L$$

로 쓴다. $\lim_{n\to\infty} a_n$($n$이 무한대로 갈 때 $a_n$의 극한이라 읽는다)은 이때의 극한값을 나타내고, $L$을 수열 $\{a_n\}$의 **극한값**이라 한다.

수렴하지 않는 수열은 **발산**한다고 한다. 발산에는 세 가지 경우가 있다.
- $n$이 커짐에 따라 $a_n$이 한없이 커지면 **양의 무한대로 발산**한다고 하고 $\lim_{n\to\infty} a_n = \infty$로 쓴다.
- $a_n$이 한없이 작아지면(음수로 커지면) **음의 무한대로 발산**한다고 하고 $\lim_{n\to\infty} a_n = -\infty$로 쓴다.
- 어느 값으로도 가까워지지 않고 값이 계속 요동치면 **진동**한다고 하며, 이 역시 발산의 한 종류다.

## 직관

수열의 항을 수직선 위에 순서대로 찍어 나간다고 생각해 보자. $n$이 커질수록 점들이 특정 위치 근처로 점점 몰려들면, 그 위치가 바로 극한값이다. 예를 들어 $\dfrac{1}{n}$은 $n=1,2,3,\dots$일 때 $1, 0.5, 0.333\dots, 0.25,\dots$로 계속 작아지며 $0$에 다가간다. 실제로 $0$이 되지는 않지만, 원하는 만큼 $0$에 가까이 갈 수 있다는 것이 핵심이다.

## 성질

$\lim_{n\to\infty} a_n = \alpha$, $\lim_{n\to\infty} b_n = \beta$ ($\alpha, \beta$는 실수)일 때 다음이 성립한다.

$$\lim_{n\to\infty}(a_n \pm b_n) = \alpha \pm \beta, \quad \lim_{n\to\infty} k a_n = k\alpha\ (k\text{는 상수})$$
$$\lim_{n\to\infty} a_n b_n = \alpha\beta, \quad \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\alpha}{\beta}\ (b_n \neq 0,\ \beta \neq 0)$$

또한 모든 $n$에서 $a_n \le b_n$이면 $\alpha \le \beta$이다. 등비수열 $r^n$의 극한은 공비 $r$에 따라 다음과 같이 정리된다.

$$\lim_{n\to\infty} r^n = \begin{cases} \infty & (r>1) \\ 1 & (r=1) \\ 0 & (-1<r<1) \\ \text{존재하지 않음(진동)} & (r \le -1) \end{cases}$$

## 예시

**예시 1.** $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{n+3}$을 구해 보자. 분자와 분모를 $n$으로 나누면

$$\frac{2n+1}{n+3} = \frac{2+\frac{1}{n}}{1+\frac{3}{n}} \xrightarrow{n\to\infty} \frac{2+0}{1+0} = 2$$


그래프: y=(2*x+1)/(x+3) (정의역 1~50)


**예시 2.** $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$은 $\infty - \infty$ 꼴이므로 분자를 유리화한다.

$$\sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \to 0$$

**예시 3.** $a_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$은 $-1 < \dfrac{1}{2} < 1$이므로 $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$이다.

## ⚠️ 흔한 실수

- **잘못된 생각:** $\dfrac{\infty}{\infty}$ 꼴이나 $\infty - \infty$ 꼴을 숫자처럼 그냥 계산해서 $1$이나 $0$이라고 답한다.
  **왜 틀렸는지:** $\infty$는 실수가 아니라 "한없이 커진다"는 상태를 나타낼 뿐이므로 사칙연산 규칙을 그대로 적용할 수 없다(부정형). 예시 1, 2처럼 최고차항으로 나누거나 유리화해서 확정형으로 바꾼 뒤 극한을 취해야 한다.

- **잘못된 생각:** $a_n = (-1)^n$은 $1, -1, 1, -1,\dots$을 반복하니 평균을 내면 $0$이므로 극한값이 $0$이라고 생각한다.
  **왜 틀렸는지:** 극한은 "$n$이 커질수록 한 값에 점점 가까워지는지"를 보는 것이지 평균을 보는 것이 아니다. $(-1)^n$은 $1$과 $-1$ 사이를 계속 오가며 어느 값에도 다가가지 않으므로 진동하며 발산한다.

- **잘못된 생각:** $r^n$의 수렴 조건을 $-1 \le r < 1$로 외운다.
  **왜 틀렸는지:** $r=-1$이면 $a_n = (-1)^n$이 되어 $1, -1$을 반복하는 진동(발산)이다. 수렴 조건은 $-1 < r \le 1$이다.

## 확인 문제

1. $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{3n^2+1}{n^2+2n}$의 값을 구하시오.
2. 수열 $a_n = \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$은 수렴하는가? 수렴한다면 극한값을 구하시오.
3. $r=2$일 때 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} r^n$은 어떻게 되는지 설명하시오.

정답 보기:

1. 분자·분모를 $n^2$으로 나누면 $\dfrac{3+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n}} \to \dfrac{3}{1} = 3$.
2. $-1 < -\dfrac{1}{3} < 1$이므로 수렴하고, 극한값은 $0$이다.
3. $r=2>1$이므로 $2^n$은 한없이 커져 $\lim_{n\to\infty} 2^n = \infty$, 즉 양의 무한대로 발산한다.



## 관련 개념

- 수열 — 극한을 취하는 대상이 되는 수열 자체의 정의
- 등비수열 — $r^n$ 형태의 극한을 다룰 때 핵심이 되는 개념
- 함수의 극한 — 수열의 극한 개념을 연속 변수로 확장한 것
- 급수 — 수열의 극한을 이용해 무한히 더한 합을 정의
- 구분구적법 — 수열의 극한을 이용해 넓이·부피를 정의하는 도구

---

관련 개념:
- 수열 (/wiki/math/%EC%88%98%EC%97%B4)
- 등비수열 (/wiki/math/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4)
- 함수의 극한 (/wiki/math/%ED%95%A8%EC%88%98%EC%9D%98_%EA%B7%B9%ED%95%9C)
- 급수 (/wiki/math/%EA%B8%89%EC%88%98)
- 구분구적법 (/wiki/math/%EA%B5%AC%EB%B6%84%EA%B5%AC%EC%A0%81%EB%B2%95)