# 소수 분야: 대수 학교급: 초등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%86%8C%EC%88%98 --- ## 정의 **소수**는 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수를 말해요. 예를 들어 7의 약수는 1과 7, 이렇게 딱 두 개뿐이에요. 이런 수를 소수라고 불러요. 반대로 약수가 3개 이상인 수는 **합성수**라고 해요. 예를 들어 6의 약수는 1, 2, 3, 6으로 4개나 되니까 6은 합성수예요. ## 직관 친구들과 사탕을 똑같이 나누어 먹는다고 생각해 봐요. 사탕 7개는 1명, 7명에게만 남김없이 똑같이 나눠 줄 수 있어요. 2명이나 3명, 4명에게 나누면 항상 남는 사탕이 생기죠. 이렇게 "1묶음"이나 "전체 한 묶음" 말고는 딱 맞게 나눌 방법이 없는 수가 바로 소수예요. 반면 사탕 6개는 1명, 2명, 3명, 6명에게 각각 딱 맞게 나눠 줄 수 있어요. 나누는 방법이 여러 가지라는 뜻이니까 6은 합성수랍니다. ## 유도 이미 배운 대로, 어떤 수의 **약수**는 그 수를 나머지 없이 나누는 수예요. 1부터 10까지 수의 약수를 하나씩 빠짐없이 적어 보고, 개수를 세어 볼게요. | 수 | 약수 | 약수 개수 | |---|---|---| | 1 | 1 | 1개 | | 2 | 1, 2 | 2개 | | 3 | 1, 3 | 2개 | | 4 | 1, 2, 4 | 3개 | | 5 | 1, 5 | 2개 | | 6 | 1, 2, 3, 6 | 4개 | | 7 | 1, 7 | 2개 | | 8 | 1, 2, 4, 8 | 4개 | | 9 | 1, 3, 9 | 3개 | | 10 | 1, 2, 5, 10 | 4개 | 이 표를 보면 수마다 약수의 개수가 다르다는 걸 알 수 있어요. 그런데 2, 3, 5, 7은 약수 개수가 **정확히 2개**라는 공통점이 있어요. 반면 4, 6, 8, 9, 10은 약수가 3개 이상이고, 1은 약수가 1개뿐이라 이 둘 중 어디에도 속하지 않아요. 이렇게 약수 개수를 기준으로 자연수를 나눠 보면 세 무리로 갈라져요. - 약수가 1개뿐인 수 → 1 (딱 하나뿐이에요) - 약수가 정확히 2개인 수 → 2, 3, 5, 7, … - 약수가 3개 이상인 수 → 4, 6, 8, 9, 10, … 바로 이 "약수가 정확히 2개인 수"에 이름을 붙인 것이 **소수**이고, "약수가 3개 이상인 수"에 이름을 붙인 것이 **합성수**예요. 약수 개수를 세어 규칙을 찾다 보니 자연스럽게 이런 분류와 정의에 다다르게 되는 거예요. ## 성질 - 가장 작은 소수는 **2**예요. 2는 짝수이지만 약수가 1과 2뿐이라서 소수예요. 2를 뺀 나머지 짝수는 모두 2로도 나누어지니까 약수가 3개 이상이라 합성수예요. - **1은 소수가 아니에요.** 1의 약수는 1 하나뿐이라서, "약수가 딱 두 개"라는 소수의 조건에 맞지 않아요. - 자연수는 1, 소수, 합성수 이렇게 세 종류로 나뉘어요. ## 예시 - 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 → 모두 소수예요. (약수를 하나씩 확인해 보면 1과 자기 자신뿐이에요.) - 4 = 1 × 4 = 2 × 2 → 약수가 1, 2, 4로 3개니까 합성수예요. - 9 = 1 × 9 = 3 × 3 → 약수가 1, 3, 9로 3개니까 합성수예요. - 15 = 1 × 15 = 3 × 5 → 약수가 1, 3, 5, 15로 4개니까 합성수예요. ## 🌍 실생활 예시 교실에서 학생 수만큼 모둠을 나눌 때 소수가 중요해져요. 학생이 13명이면 1모둠(13명) 또는 13모둠(1명씩)으로밖에 나눌 수 없어요. 13이 소수이기 때문이에요. 그래서 선생님들은 모둠 활동을 계획할 때 학생 수가 소수인지 아닌지를 먼저 확인해서, 필요하면 인원을 조절하기도 해요. ## ⚠️ 흔한 실수 - **잘못된 생각:** "1은 약수가 자기 자신 하나뿐이니까 소수 아닐까?" → **왜 틀렸는지:** 소수는 약수가 정확히 **두 개**(1과 자기 자신)여야 해요. 1은 약수가 1개뿐이라서 소수도, 합성수도 아닌 특별한 수예요. - **잘못된 생각:** "짝수는 다 합성수다." → **왜 틀렸는지:** 2는 짝수이면서도 약수가 1과 2뿐이라 소수예요. "2를 제외한 짝수"가 합성수인 거예요. - **잘못된 생각:** "91처럼 커 보이는 수는 소수일 것 같다." → **왜 틀렸는지:** 91 = 7 × 13 이라서 실제로는 합성수예요. 크기만 보지 말고 작은 수(2, 3, 5, 7…)로 직접 나누어 봐야 확실히 알 수 있어요. ## 확인 문제 1. 1부터 20까지의 수를 하나씩 살펴보며 소수를 모두 찾아보세요. 그리고 소수를 찾은 과정에서 알게 된 규칙이 있다면 써 보세요. 2. 12의 약수를 모두 구하고, 12가 소수인지 합성수인지 말해 보세요. 3. "2는 짝수이지만 소수다"라는 문장이 맞는 이유를 약수를 이용해 설명해 보세요. 정답 보기: 1. 소수: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. (규칙 예시: 2를 빼면 모두 홀수이고, 뒤로 갈수록 소수 사이의 간격이 불규칙하게 벌어진다.) 2. 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12로 6개이므로 12는 합성수예요. 3. 2의 약수는 1과 2, 딱 두 개뿐이라서 소수의 조건(약수가 정확히 2개)을 만족해요. 짝수라는 사실과 소수인지 아닌지는 서로 다른 기준이에요. ## 📜 역사 고대 그리스 사람들은 이미 소수에 큰 관심을 가지고 있었어요. 특히 유클리드는 자신의 책에서 "소수는 끝없이 계속된다"는 사실, 즉 아무리 큰 소수를 찾아도 그보다 더 큰 소수가 반드시 존재한다는 것을 논리적으로 밝혀냈어요. 비슷한 시기에 활동한 에라토스테네스는 큰 수들 중에서 소수를 하나하나 손으로 나누어 확인하는 대신, 합성수를 체로 걸러내듯 지워 나가며 소수만 남기는 방법을 고안했어요. 이 방법이 오늘날 에라토스테네스의 체라고 불리는 것으로, 여러 수의 소수 여부를 한꺼번에 빠르게 찾을 수 있게 해 준 방법이에요. 이처럼 소수는 "나누어떨어지지 않는 수를 어떻게 빠르게 찾아낼까"라는 실용적인 궁금증에서 출발해 오늘날까지 이어져 온 개념이에요. ## 관련 개념 - 약수와 배수 — 소수를 정의할 때 반드시 필요한 개념 - 자연수 — 소수와 합성수를 나누는 대상이 되는 수 - 소수와 합성수 — 자연수를 소수, 합성수, 1로 분류하는 개념 - 소인수분해 — 합성수를 소수들의 곱으로 나타내는 방법 - 최대공약수와 최소공배수 — 소인수분해와 함께 배우는 다음 개념 --- 관련 개념: - 약수와 배수 (/wiki/math/%EC%95%BD%EC%88%98%EC%99%80_%EB%B0%B0%EC%88%98) - 에라토스테네스의 체 (/wiki/math/%EC%97%90%EB%9D%BC%ED%86%A0%EC%8A%A4%ED%85%8C%EB%84%A4%EC%8A%A4%EC%9D%98_%EC%B2%B4) - 자연수 (/wiki/math/%EC%9E%90%EC%97%B0%EC%88%98) - 소수와 합성수 (/wiki/math/%EC%86%8C%EC%88%98%EC%99%80_%ED%95%A9%EC%84%B1%EC%88%98) - 소인수분해 (/wiki/math/%EC%86%8C%EC%9D%B8%EC%88%98%EB%B6%84%ED%95%B4) - 최대공약수와 최소공배수 (/wiki/math/%EC%B5%9C%EB%8C%80%EA%B3%B5%EC%95%BD%EC%88%98%EC%99%80_%EC%B5%9C%EC%86%8C%EA%B3%B5%EB%B0%B0%EC%88%98)