# 산술-기하 평균 부등식

분야: 대수
학교급: 고등
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%82%B0%EC%88%A0-%EA%B8%B0%ED%95%98_%ED%8F%89%EA%B7%A0_%EB%B6%80%EB%93%B1%EC%8B%9D

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## 정의

$a>0,\ b>0$인 두 양수 $a,\ b$에 대하여 다음 부등식이 성립한다.

$$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$$

여기서 좌변 $\dfrac{a+b}{2}$를 $a,\ b$의 **산술평균**, 우변 $\sqrt{ab}$($\sqrt{ab}$는 "루트 에이비"라 읽는다)를 $a,\ b$의 **기하평균**이라 한다. 등호는 $a=b$일 때에만 성립한다. 이를 **산술평균과 기하평균의 관계**(산술-기하 평균 부등식)라 하며, 대표적인 절대부등식이다.

증명은 다음과 같다. $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0$이 항상 성립하므로

$$a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0 \ \Rightarrow\ a+b \ge 2\sqrt{ab} \ \Rightarrow\ \frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$$

이며, 등호는 $\sqrt{a}=\sqrt{b}$, 즉 $a=b$일 때 성립한다.

## 직관

세로 $a$, 가로 $b$인 직사각형을 생각하자. 넓이는 $ab$로 고정되어 있는데, 둘레($2(a+b)$)가 가장 작아지는 경우는 정사각형($a=b$)일 때이다. 반대로 둘레가 고정되어 있으면 넓이가 가장 커지는 경우도 정사각형일 때다. 즉 산술-기하 평균 부등식은 "모양이 한쪽으로 치우칠수록(직사각형이 길쭉해질수록) 합은 커지고 곱은 작아진다"는 사실을 식으로 표현한 것이다.

이 성질 때문에 이 부등식은 **곱이 일정할 때 합의 최솟값**, 또는 **합이 일정할 때 곱의 최댓값**을 구하는 문제에서 핵심 도구로 쓰인다.

## 예시

**예시 1.** $a=4,\ b=9$이면 산술평균은 $\dfrac{4+9}{2}=6.5$, 기하평균은 $\sqrt{36}=6$이므로 $6.5 \ge 6$이 성립한다.

**예시 2.** $x>0$일 때 $x+\dfrac{9}{x}$의 최솟값을 구해 보자. $x>0,\ \dfrac{9}{x}>0$이므로

$$x+\frac{9}{x} \ge 2\sqrt{x\cdot\frac{9}{x}} = 2\sqrt{9} = 6$$

등호는 $x=\dfrac{9}{x}$, 즉 $x^2=9$에서 $x=3$($x>0$)일 때 성립하므로 최솟값은 $6$이다.


그래프: y=x+9/x, y=6 (정의역 0.5~10)


## ⚠️ 흔한 실수

- **잘못된 생각**: $a,\ b$의 부호를 확인하지 않고 부등식을 적용한다. → **왜 틀렸는지**: 이 부등식은 $a>0,\ b>0$일 때만 성립한다. 예를 들어 $a=-2,\ b=-8$이면 산술평균은 $-5$인데 $\sqrt{ab}=\sqrt{16}=4$이므로 $-5\ge 4$는 거짓이다. 음수가 하나라도 있으면 이 형태의 부등식을 그대로 쓸 수 없다.
- **잘못된 생각**: 최솟값을 구했으면 등호 성립 조건은 확인하지 않아도 된다. → **왜 틀렸는지**: 부등식 $\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$은 항상 참이지만, 그 우변 값이 실제 최솟값이 되려면 등호 조건 $a=b$를 만족하는 $x$가 정의역 안에 존재해야 한다. 존재하지 않으면 계산한 값은 최솟값이 아니라 단순한 하한일 뿐이다.
- **잘못된 생각**: $x^2+\dfrac{1}{x}$처럼 곱이 상수가 아닌 두 항에도 그냥 두 항으로 묶어 산술-기하 평균 부등식을 적용한다. → **왜 틀렸는지**: $x^2\cdot\dfrac1x=x$는 상수가 아니므로 우변 $\sqrt{ab}$가 $x$에 따라 달라져 최솟값을 확정할 수 없다. 항의 개수와 지수를 조절해 곱이 상수가 되도록 식을 나눈 뒤에 적용해야 한다(예: $\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2x}+x^2$).

## 확인 문제

1. $a=4,\ b=9$일 때 산술평균과 기하평균을 각각 구하고, 부등식이 성립함을 확인하라.
2. $x>0$일 때 $x+\dfrac{4}{x}$의 최솟값과 그때의 $x$ 값을 구하라.
3. $a,\ b$가 양수이고 $a+b=10$일 때, $ab$의 최댓값을 구하라.

정답 보기:

1. 산술평균 $\dfrac{4+9}{2}=6.5$, 기하평균 $\sqrt{36}=6$이므로 $6.5\ge 6$이 성립한다.
2. $x+\dfrac{4}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot\dfrac4x}=2\sqrt4=4$이고, 등호는 $x=\dfrac4x$, 즉 $x=2$일 때 성립하므로 최솟값은 $4$이다.
3. $\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}=5$이므로 $ab\le 25$이고, 등호는 $a=b=5$일 때 성립하므로 최댓값은 $25$이다.



## 관련 개념

- 절대부등식: 산술-기하 평균 부등식은 항상 참인 절대부등식의 대표적인 예이다.
- 제곱근과 무리수: 기하평균 $\sqrt{ab}$를 정의하는 데 필요한 개념이다.
- 부등식: 부등식의 성질과 표기법을 이해해야 이 부등식을 다룰 수 있다.
- 판별식: 이차방정식의 판별식을 이용해 산술-기하 평균 부등식을 증명하는 대안적 방법도 있다.
- 이차함수: 최댓값·최솟값을 구하는 다른 방법(완전제곱꼴)과 비교하며 이해하면 좋다.

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관련 개념:
- 절대부등식 (/wiki/math/%EC%A0%88%EB%8C%80%EB%B6%80%EB%93%B1%EC%8B%9D)
- 제곱근과 무리수 (/wiki/math/%EC%A0%9C%EA%B3%B1%EA%B7%BC%EA%B3%BC_%EB%AC%B4%EB%A6%AC%EC%88%98)
- 부등식 (/wiki/math/%EB%B6%80%EB%93%B1%EC%8B%9D)
- 판별식 (/wiki/math/%ED%8C%90%EB%B3%84%EC%8B%9D)
- 이차함수 (/wiki/math/%EC%9D%B4%EC%B0%A8%ED%95%A8%EC%88%98)