# 비례식과 비례배분

분야: 대수
학교급: 초등
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EB%B9%84%EB%A1%80%EC%8B%9D%EA%B3%BC_%EB%B9%84%EB%A1%80%EB%B0%B0%EB%B6%84

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<!-- prereq: 비와 비율 -->

## 정의

**비례식**은 두 개의 비가 서로 같을 때, 그 관계를 등호(=)로 나타낸 식이다. 예를 들어 $2:3 = 4:6$($2$ 대 $3$은 $4$ 대 $6$과 같다고 읽는다)처럼 쓴다. 이때 바깥쪽에 있는 두 수(위 식에서 $2$와 $6$)를 **외항**, 안쪽에 있는 두 수($3$과 $4$)를 **내항**이라고 부른다.

**비례배분**은 어떤 수나 양을 주어진 비대로 나누어 갖는 것을 말한다. 예를 들어 사탕 $10$개를 $2:3$으로 나누면 두 사람이 각각 $4$개, $6$개씩 갖게 된다.

## 직관

비례식은 "저울이 평형을 이루고 있다"는 그림으로 생각하면 쉽다. $2:3$과 $4:6$은 겉모습은 다르지만 실제로는 같은 관계(두 번째 수가 첫 번째 수의 $1.5$배)를 나타내므로, 저울처럼 균형이 맞는 것이다.

비례배분은 "전체를 몇 조각으로 나누고, 그중 몇 조각씩 가져가는가"로 생각하면 된다. $2:3$으로 나눈다는 것은 전체를 $2+3=5$조각으로 잘게 쪼갠 뒤, 한 사람은 그중 $2$조각을, 다른 사람은 $3$조각을 갖는 것과 같다.

## 성질

- **비례식의 성질**: 비례식에서는 외항의 곱과 내항의 곱이 항상 같다. $a:b = c:d$이면 $a \times d = b \times c$이다.
- **비례배분 방법**: 전체를 $m:n$으로 비례배분할 때, 각 몫은 다음과 같이 구한다.
  - 첫 번째 몫 = 전체 $\times \dfrac{m}{m+n}$
  - 두 번째 몫 = 전체 $\times \dfrac{n}{m+n}$

## 예시

**비례식 풀기**: $3:5 = x:15$에서 $x$를 구해 보자. 외항의 곱과 내항의 곱이 같으므로 $3 \times 15 = 5 \times x$, 즉 $45 = 5x$이므로 $x = 9$이다.

**비례배분**: 색종이 $24$장을 형과 동생이 $3:5$로 나누어 가지려 한다. 전체 비의 합은 $3+5=8$이므로, 형은 $24 \times \dfrac{3}{8} = 9$장, 동생은 $24 \times \dfrac{5}{8} = 15$장을 갖는다. (확인: $9+15=24$)

## 🌍 실생활 예시

요리 레시피에서 재료의 비율을 지켜야 할 때 비례식과 비례배분이 쓰인다. 예를 들어 물과 밀가루를 $2:3$의 비로 섞는 레시피를 $4$인분에서 $6$인분으로 늘리려면, 비례식 $2:3 = x:y$를 이용해 필요한 물과 밀가루의 양을 정확히 계산할 수 있다.

## ⚠️ 흔한 실수

1. **잘못된 생각**: 비례배분을 할 때 전체를 비의 각 항으로 나누지 않고, 비의 항을 그냥 곱해서 답을 구한다. → **왜 틀렸는가**: $24$장을 $3:5$로 나눌 때 $24 \times 3$처럼 계산하면 안 된다. 반드시 비의 합($3+5=8$)으로 나눈 뒤 각 항을 곱해야 전체 양이 맞아떨어진다.
2. **잘못된 생각**: 비례식 $a:b = c:d$에서 외항과 내항을 헷갈려 $a \times c = b \times d$로 계산한다. → **왜 틀렸는가**: 외항은 바깥의 두 수($a$, $d$), 내항은 안쪽의 두 수($b$, $c$)이므로 곱해야 하는 짝은 $a \times d$와 $b \times c$이다.
3. **잘못된 생각**: 비례배분 결과가 나오면 검산 없이 답을 확정한다. → **왜 틀렸는가**: 계산 실수를 놓치기 쉬우므로, 나눈 몫들을 모두 더해서 처음의 전체 양과 같은지 반드시 확인해야 한다.

## 확인 문제

1. 비례식 $4:7 = 12:x$에서 $x$의 값을 구하시오.
2. 연필 $18$자루를 $2:4$로 비례배분하면 각각 몇 자루씩 나누어 갖게 되는지 구하시오.
3. 어떤 반의 학생 수가 $30$명이고, 남학생 수와 여학생 수의 비가 $2:3$이라고 한다. 만약 비를 $3:2$로 바꾸면 남학생 수와 여학생 수는 어떻게 달라지는지 직접 계산해 보고, 비의 순서가 왜 중요한지 설명하시오.

정답 보기:

1. 외항의 곱과 내항의 곱이 같으므로 $4 \times x = 7 \times 12 = 84$, 따라서 $x = 21$이다.
2. 비의 합은 $2+4=6$이므로 첫 번째 몫은 $18 \times \dfrac{2}{6} = 6$자루, 두 번째 몫은 $18 \times \dfrac{4}{6} = 12$자루이다.
3. $2:3$일 때 남학생은 $30 \times \dfrac{2}{5}=12$명, 여학생은 $18$명이다. 비를 $3:2$로 바꾸면 남학생은 $30 \times \dfrac{3}{5}=18$명, 여학생은 $12$명으로 서로 뒤바뀐다. 이는 비의 순서가 "누가 몇 몫을 갖는지"를 결정하기 때문이며, 순서를 바꾸면 전혀 다른 결과가 나온다는 것을 보여 준다.



## 관련 개념

- 비와 비율 — 비례식과 비례배분의 바탕이 되는 개념
- 분수 — 비례배분 계산에서 몫을 구할 때 쓰인다
- 곱셈, 나눗셈 — 비례식과 비례배분의 계산 과정에 쓰이는 기본 연산
- 정비례와 반비례 — 비의 개념이 함수 관계로 확장된 개념

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관련 개념:
- 비와 비율 (/wiki/math/%EB%B9%84%EC%99%80_%EB%B9%84%EC%9C%A8)
- 분수 (/wiki/math/%EB%B6%84%EC%88%98)
- 곱셈 (/wiki/math/%EA%B3%B1%EC%85%88)
- 나눗셈 (/wiki/math/%EB%82%98%EB%88%97%EC%85%88)
- 정비례와 반비례 (/wiki/math/%EC%A0%95%EB%B9%84%EB%A1%80%EC%99%80_%EB%B0%98%EB%B9%84%EB%A1%80)