# 벡터

분야: 기하
학교급: 고등
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EB%B2%A1%ED%84%B0

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## 정의

**벡터**(vector)는 크기와 방향을 함께 갖는 양이다. 점 $A$에서 점 $B$로 향하는 유향선분으로 나타내고 $\overrightarrow{AB}$ 또는 $\vec{a}$로 쓴다. 크기만 갖는 양(길이, 넓이, 온도)은 스칼라라 부른다.

## 직관

"얼마나, 어느 쪽으로"를 한 덩어리로 다루는 도구다. 시작점이 달라도 크기와 방향이 같으면 **같은 벡터**로 본다 — 벡터는 "위치"가 아니라 "이동"이기 때문이다. 이 관점 덕에 도형 문제가 계산 문제로 바뀐다: 평행, 내분, 무게중심 같은 기하적 사실이 벡터 연산 몇 줄로 정리된다.

## 🧑‍🏫 쉬운 설명

벡터에서 처음 낯선 건 **"시작점이 달라도 같은 벡터"**라는 말이다. 화살표를 그려 놓으면 그게 놓인 자리가 중요해 보이는데, 벡터가 담는 정보는 오직 "얼마나, 어느 쪽으로"뿐이다. 지도 위의 "북쪽으로 $3\,\text{km}$"라는 안내를 떠올려 보자. 서울에서 출발하든 부산에서 출발하든 "북쪽으로 $3\,\text{km}$"는 똑같은 이동 지시다 — 출발 지점은 지시 내용의 일부가 아니다. 벡터도 마찬가지라, 크기와 방향만 같으면 평면 어디에 그려져 있든 같은 벡터로 본다.

이 관점을 잡으면 위치벡터라는 말도 자연스러워진다. 벡터 자체엔 위치가 없지만, 원점이라는 공통 출발점을 정해 놓고 "원점에서 그 점까지의 이동"으로 각 점을 나타내면 점 하나하나에 벡터 하나가 붙는다. 그러면 중점·내분점 같은 도형 이야기가 "이동의 평균"처럼 벡터 계산으로 바뀐다.

흔한 착각 하나 — 벡터의 덧셈을 성분끼리 더하는 규칙으로만 외우면, 그게 왜 "이동을 이어 붙이는 것"과 같은지 놓치기 쉽다. $\vec{a}$만큼 가고 이어서 $\vec{b}$만큼 가면 실제 도착점은 $\vec{a} + \vec{b}$로 한 번에 간 것과 같다. 성분 계산은 이 이어 붙이기를 좌표로 옮긴 것일 뿐이다.

## 연산

- **덧셈**: $\vec{a} + \vec{b}$ — 이동을 이어 붙인다 (삼각형법·평행사변형법)
- **실수배**: $k\vec{a}$ — 방향은 유지(음수면 반대)하고 크기를 $|k|$배
- **성분 표시**: 좌표평면에서 $\vec{a} = (a_1, a_2)$로 쓰면 연산이 좌표 계산이 된다:

$$\vec{a} + \vec{b} = (a_1+b_1,\ a_2+b_2), \qquad k\vec{a} = (ka_1,\ ka_2)$$

- 크기: $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$

## 예시

두 점 $A(1, 2)$, $B(4, 6)$에 대해 $\overrightarrow{AB} = (4-1,\ 6-2) = (3, 4)$이고 $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{9+16} = 5$.

선분 $AB$의 중점 $M$은 위치벡터로 $\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$ — "중점 = 평균"이 벡터 식으로 그대로 드러난다.

## 관련 개념

- 두 벡터의 곱셈 중 스칼라를 내놓는 것이 벡터의 내적이다
- 평면 위 벡터가 평면벡터, 공간으로 확장하면 공간벡터다
- 벡터의 덧셈·실수배 구조를 보존하는 함수가 일차변환이다
- 성분 계산의 무대는 평면좌표다

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관련 개념:
- 벡터의 내적 (/wiki/math/%EB%B2%A1%ED%84%B0%EC%9D%98_%EB%82%B4%EC%A0%81)
- 평면벡터 (/wiki/math/%ED%8F%89%EB%A9%B4%EB%B2%A1%ED%84%B0)
- 공간벡터 (/wiki/math/%EA%B3%B5%EA%B0%84%EB%B2%A1%ED%84%B0)
- 일차변환 (/wiki/math/%EC%9D%BC%EC%B0%A8%EB%B3%80%ED%99%98)
- 평면좌표 (/wiki/math/%ED%8F%89%EB%A9%B4%EC%A2%8C%ED%91%9C)