# 미분법 분야: 해석 학교급: 고등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EB%AF%B8%EB%B6%84%EB%B2%95 --- ## 정의 **미분법**은 함수의 도함수를 구하는 규칙들을 통틀어 이르는 말이다. 함수 $f(x)$의 도함수는 $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$ 로 정의되지만, 매번 이 극한을 직접 계산하는 것은 번거롭다. 미분법은 이 극한 계산을 반복하지 않고도 도함수를 구할 수 있게 해 주는 공식들이다. $n$이 양의 정수이고 $c$가 상수, $f, g$가 미분가능한 함수일 때 다음이 성립한다. - 상수함수의 미분: $(c)' = 0$ - 거듭제곱의 미분: $(x^n)' = nx^{n-1}$ - 상수배의 미분: $(cf(x))' = cf'(x)$ - 합·차의 미분: $\{f(x) \pm g(x)\}' = f'(x) \pm g'(x)$ - 곱의 미분법: $\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ - 몫의 미분법: $\left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$ (단, $g(x) \neq 0$) - 합성함수의 미분법(연쇄법칙): $y = g(u)$, $u = f(x)$일 때 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$, 즉 $\{g(f(x))\}' = g'(f(x))f'(x)$ ## 직관 도함수의 정의를 그대로 쓰면 다항식 하나 미분하는 데도 극한 계산을 새로 해야 한다. 미분법은 "부품을 조립하듯" 복잡한 함수를 단순한 함수들의 합·곱·합성으로 쪼갠 뒤, 각 부품의 도함수만 알면 전체 도함수를 계산할 수 있게 해 주는 도구다. 곱의 미분법은 직사각형의 넓이 변화로 이해하면 자연스럽다. 가로 $f(x)$, 세로 $g(x)$인 직사각형의 넓이가 $f(x)g(x)$인데, $x$가 조금 변하면 가로와 세로가 각각 조금씩 늘어나므로 넓이의 증가분은 "가로가 늘어난 만큼 × 세로" 더하기 "가로 × 세로가 늘어난 만큼"이 되어 $f'g + fg'$ 꼴이 나온다. 연쇄법칙은 톱니바퀴에 비유할 수 있다. $x$가 조금 움직이면 $u=f(x)$가 그 비율($f'(x)$)만큼 움직이고, $u$가 움직인 만큼 $y=g(u)$가 다시 그 비율($g'(u)$)만큼 움직이므로 전체 변화율은 두 비율의 곱이 된다. ## 유도 미분법의 각 공식은 모두 도함수의 정의 $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ 에서 출발한다. 공식을 외우기 전에, 이 극한으로부터 실제로 어떻게 각 규칙이 나오는지 확인해 보자. **거듭제곱의 미분**: $n$이 양의 정수일 때 $f(x)=x^n$이라 하면 이항정리에 의해 $$(x+h)^n = x^n + nx^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n$$ 이므로 $$f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{(x+h)^n - x^n}{h} = \lim_{h\to0}\frac{nx^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n}{h}$$ 분자의 모든 항에 $h$가 있으므로 $h$로 나누면 $$= \lim_{h\to0}\left(nx^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}h + \cdots + h^{n-1}\right) = nx^{n-1}$$ $h\to0$이면 두 번째 항부터는 모두 0으로 수렴하기 때문에 $(x^n)' = nx^{n-1}$이 남는다. **합·차, 상수배의 미분**: $\{f(x)+g(x)\}'$는 $$\lim_{h\to0}\frac{\{f(x+h)+g(x+h)\}-\{f(x)+g(x)\}}{h} = \lim_{h\to0}\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right) = f'(x)+g'(x)$$ 로 극한의 합의 성질을 그대로 쓰면 된다. 상수배도 같은 방식으로 $\lim_{h\to0}\dfrac{cf(x+h)-cf(x)}{h} = c\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = cf'(x)$가 성립한다. **곱의 미분법**: $\{f(x)g(x)\}'$를 정의대로 쓰면 $$\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$$ 분자에서 $f(x+h)g(x)$를 더하고 빼서 다음과 같이 두 부분으로 쪼갠다. $$f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x) = f(x+h)g(x+h) - f(x+h)g(x) + f(x+h)g(x) - f(x)g(x)$$ $$= f(x+h)\{g(x+h)-g(x)\} + \{f(x+h)-f(x)\}g(x)$$ 따라서 $$\{f(x)g(x)\}' = \lim_{h\to0}\left(f(x+h)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h} + \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot g(x)\right)$$ $h\to0$일 때 $f(x+h)\to f(x)$이고 나머지 두 분수는 각각 $g'(x)$, $f'(x)$로 수렴하므로 $$\{f(x)g(x)\}' = f(x)g'(x) + f'(x)g(x)$$ 가 된다. **몫의 미분법**: $g(x)\neq0$일 때 $\dfrac{f(x)}{g(x)}$를 정의대로 계산하면 $$\left(\frac{f}{g}\right)' = \lim_{h\to0}\frac{1}{h}\left(\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \lim_{h\to0}\frac{1}{h}\cdot\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x+h)g(x)}$$ 분자에 곱의 미분법 때와 같은 방법으로 $f(x)g(x)$를 더하고 빼면 $$f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h) = \{f(x+h)-f(x)\}g(x) - f(x)\{g(x+h)-g(x)\}$$ 이므로 $$\left(\frac{f}{g}\right)' = \lim_{h\to0}\frac{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x) - f(x)\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}}{g(x+h)g(x)} = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$$ 가 된다. **연쇄법칙**: $y=g(u)$, $u=f(x)$이고 $x$가 $h$만큼 변할 때 $u$의 증분을 $\Delta u = f(x+h)-f(x)$라 하면, $\Delta u \neq 0$인 경우 $$\frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{h} = \frac{g(u+\Delta u)-g(u)}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{h} = \frac{g(u+\Delta u)-g(u)}{\Delta u}\cdot\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ $h\to0$이면 $f$가 미분가능하므로 $\Delta u \to 0$이고, 오른쪽 첫 번째 분수는 $g'(u)$로, 두 번째 분수는 $f'(x)$로 수렴하므로 $$\{g(f(x))\}' = g'(f(x))f'(x)$$ 를 얻는다. ## 예시 **곱의 미분법**: $f(x) = (x^2+1)(x^3-2x)$의 도함수를 구하면 $$f'(x) = (2x)(x^3-2x) + (x^2+1)(3x^2-2) = 2x^4 - 4x^2 + 3x^4 - 2x^2 + 3x^2 - 2 = 5x^4 - 3x^2 - 2$$ 전개해서 $f(x) = x^5 - x^3 - 2x$로 만든 뒤 직접 미분해도 $f'(x) = 5x^4 - 3x^2 - 2$로 같은 결과가 나온다. **몫의 미분법**: $f(x) = \dfrac{x^2}{x+1}$이면 $$f'(x) = \frac{2x(x+1) - x^2 \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x}{(x+1)^2}$$ **연쇄법칙**: $y = (2x+1)^3$일 때 $u = 2x+1$로 놓으면 $y = u^3$이므로 $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot 2 = 6(2x+1)^2$$ 아래는 $f(x) = x^3 - 3x$와 그 도함수 $f'(x) = 3x^2 - 3$을 함께 나타낸 그래프다. $f'(x)=0$이 되는 지점(그래프가 $x$축과 만나는 곳)에서 원래 함수의 그래프가 잠시 평평해지는 것을 확인할 수 있다. 그래프: y=x^3-3*x, y=3*x^2-3 (정의역 -3~3) ## 🌍 실생활 예시 로켓이나 자동차의 순간 가속도는 위치를 시간에 대해 두 번 미분해서 얻는다. 위치 함수가 여러 함수의 곱이나 합성으로 표현될 때(예: 공기 저항 때문에 속도에 지수함수가 섞이는 경우) 곱의 미분법과 연쇄법칙을 쓰지 않으면 정확한 순간 가속도를 계산할 수 없다. 이는 속도와 가속도를 실제로 구하는 데 미분법이 필수적으로 쓰이는 이유다. ## ⚠️ 흔한 실수 - **잘못된 생각**: $\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g'(x)$일 것이다. → **왜 틀렸는지**: $f(x)=g(x)=x$인 경우로 확인하면, $fg = x^2$이므로 $(fg)' = 2x$인데 $f'g' = 1 \times 1 = 1$이다. 곱의 미분법은 "각각 미분해서 곱하는 것"이 아니라 "한쪽씩 미분해서 더하는 것"임을 반드시 기억해야 한다. - **잘못된 생각**: 연쇄법칙에서 $\{g(f(x))\}' = g'(f(x))$로 충분하다. → **왜 틀렸는지**: 안쪽 함수 $f(x)$가 변하는 속도, 즉 $f'(x)$를 곱하는 것을 빼먹은 것이다. 예를 들어 $y=(2x+1)^3$을 $u^3$의 미분인 $3u^2$까지만 계산하고 끝내면 $u=2x+1$이 $x$보다 2배 빠르게 변한다는 사실을 놓치게 된다. - **잘못된 생각**: 몫의 미분법 분자를 $f'g + fg'$처럼 부호 없이 쓴다. → **왜 틀렸는지**: 몫의 미분법은 곱의 미분법과 달리 분자에 $f'g - fg'$처럼 뺄셈이 들어가며 분모도 $g(x)$가 아니라 $\{g(x)\}^2$이다. 두 공식을 헷갈리지 않도록 유도 과정을 한 번은 직접 확인해 두는 것이 좋다. ## 확인 문제 1. $f(x) = x^2$, $g(x) = x$일 때 $fg = x^3$이다. $(fg)'$을 직접 계산한 값과, $f'g+fg'$로 계산한 값, 그리고 $f'g'$로 계산한 값을 각각 구하고 셋을 비교해 보아라. 왜 곱의 미분법이 마지막 방법과 다른지 설명하여라. 2. $f(x) = (x^2-1)(x+2)$의 도함수를 곱의 미분법으로 구하고, 전개해서 직접 미분한 결과와 같은지 확인하여라. 3. $y = (3x-2)^4$의 도함수를 연쇄법칙을 이용해 구하여라. 정답 보기: 1. $(fg)' = (x^3)' = 3x^2$. $f'g+fg' = 2x\cdot x + x^2 \cdot 1 = 3x^2$로 일치한다. $f'g' = 2x \cdot 1 = 2x$로 다르다. 곱의 미분법은 두 함수가 "동시에" 조금씩 변할 때 넓이(곱)의 변화를 나타내므로 한쪽이 변한 효과와 다른 쪽이 변한 효과를 각각 더해야 하기 때문이다. 2. $f'(x) = 2x(x+2) + (x^2-1)(1) = 2x^2+4x+x^2-1 = 3x^2+4x-1$. 전개하면 $f(x) = x^3+2x^2-x-2$이고 직접 미분해도 $3x^2+4x-1$로 같다. 3. $u=3x-2$로 놓으면 $y=u^4$, $\dfrac{dy}{dx} = 4u^3 \cdot 3 = 12(3x-2)^3$. ## 📜 역사 17세기 후반 뉴턴과 라이프니츠는 곡선의 접선의 기울기와 순간 변화율을 구하는 문제를 각자의 방식으로 연구하면서 미분이라는 개념을 독립적으로 확립했다. 그전까지는 함수마다 접선의 기울기를 매번 극한 계산으로 새로 구해야 했는데, 라이프니츠는 $dy/dx$ 표기법을 도입하면서 곱과 합의 미분에 관한 규칙들을 자신의 노트에 정리해 반복 계산의 수고를 줄였다. 이후 18세기에 오일러를 비롯한 수학자들이 미적분학을 다항함수뿐 아니라 지수함수·로그함수·삼각함수까지 아우르는 함수 중심의 체계로 정리하면서, 합성함수의 미분(연쇄법칙)을 포함한 미분법의 규칙들이 지금과 같은 형태로 다듬어졌다. ## 관련 개념 - 미분계수 — 도함수와 미분법 공식의 출발점 - 도함수 — 미분법으로 구하는 결과물 - 함수의 극한 — 도함수 정의에 필요한 극한 개념 - 합성함수 — 연쇄법칙이 다루는 함수 구조 - 초월함수의 미분 — 삼각함수·지수함수·로그함수에 미분법을 확장한 내용 --- 관련 개념: - 도함수 (/wiki/math/%EB%8F%84%ED%95%A8%EC%88%98) - 합성함수 (/wiki/math/%ED%95%A9%EC%84%B1%ED%95%A8%EC%88%98) - 속도와 가속도 (/wiki/math/%EC%86%8D%EB%8F%84%EC%99%80_%EA%B0%80%EC%86%8D%EB%8F%84) - 미분계수 (/wiki/math/%EB%AF%B8%EB%B6%84%EA%B3%84%EC%88%98) - 함수의 극한 (/wiki/math/%ED%95%A8%EC%88%98%EC%9D%98_%EA%B7%B9%ED%95%9C) - 초월함수의 미분 (/wiki/math/%EC%B4%88%EC%9B%94%ED%95%A8%EC%88%98%EC%9D%98_%EB%AF%B8%EB%B6%84)