# 드무아브르의 정리

분야: 대수
학교급: 고등
교육과정: 3차~6차 (7차에서 삭제)
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EB%93%9C%EB%AC%B4%EC%95%84%EB%B8%8C%EB%A5%B4%EC%9D%98_%EC%A0%95%EB%A6%AC

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<!-- prereq: 복소수, 복소수의 극형식, 삼각함수, 수학적 귀납법 -->

> 이 개념은 제3차 교육과정부터 제6차 교육과정까지 고등학교 수학에서 다루어졌으나, 제7차 교육과정부터는 교과 내용에서 제외되었다.

## 정의

복소수 $z$($z$는 복소수를 나타내는 변수)가 극형식으로 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$($\theta$는 "세타"라고 읽으며 $z$의 각, $i$는 허수단위)로 나타내어질 때, 임의의 정수 $n$에 대하여 다음이 성립한다.

$$z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$$

특히 $r=1$인 경우, 즉 $z=\cos\theta+i\sin\theta$일 때는

$$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$$

이를 **드무아브르의 정리**라 한다. $n$이 자연수인 경우에는 수학적 귀납법으로 증명하며, $n=0$일 때는 양변이 모두 $1$이 되어 성립하고, $n$이 음의 정수일 때는 $z^{-n} = \dfrac{1}{z^n}$을 이용하여 확장한다.

## 직관

복소수를 곱하면 절댓값(길이)은 곱해지고 각(방향)은 더해진다. 즉 $r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha) \times r_2(\cos\beta+i\sin\beta) = r_1r_2\{\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\}$이다.

드무아브르의 정리는 이 곱셈 규칙을 **같은 수를 $n$번 곱하는 특수한 경우**로 본 것이다. 시계의 큰 시계 방향으로 $\theta$만큼 다이얼을 한 번 돌리는 것을 상상해 보자. 같은 방향으로 $n$번 돌리면 처음 위치에서 총 $n\theta$만큼 돌아간 지점에 도착한다. 절댓값이 $r$인 복소수를 곱하는 것도 마찬가지로, 매번 크기가 $r$배씩 커지므로 $n$번 곱하면 크기는 $r^n$배가 된다. 결국 "각은 $n$배로 누적되고, 크기는 $n$번 거듭곱해진다"는 것이 이 정리의 핵심 그림이다.

## 예시

**예시 1.** $z = \cos 30^\circ + i\sin 30^\circ$일 때 $z^{12}$을 구하면

$$z^{12} = \cos(12\times30^\circ) + i\sin(12\times30^\circ) = \cos 360^\circ + i\sin 360^\circ = 1$$

**예시 2.** $z = 2(\cos 60^\circ + i\sin 60^\circ)$일 때 $z^3$을 구하면

$$z^3 = 2^3\{\cos(3\times60^\circ) + i\sin(3\times60^\circ)\} = 8(\cos180^\circ + i\sin180^\circ) = 8(-1+0i) = -8$$

**예시 3.** 이 정리는 배각공식을 유도하는 데도 쓰인다. $n=2$일 때 좌변을 직접 전개하면

$$(\cos\theta+i\sin\theta)^2 = \cos^2\theta - \sin^2\theta + i(2\sin\theta\cos\theta)$$

이고, 우변은 $\cos2\theta+i\sin2\theta$이므로 실수부와 허수부를 비교하면 $\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$, $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$라는 배각공식이 그대로 얻어진다.

## 🌍 실생활 예시

전기공학에서 교류 회로를 분석할 때 전압과 전류를 복소수(페이저, phasor)로 나타낸다. 회로의 위상이 매 주기마다 일정 각도 $\theta$씩 어긋나는 상황을 $n$번 반복해서 살펴봐야 할 때, 드무아브르의 정리와 같은 원리(각의 누적, 크기의 거듭곱)를 이용해 $n$번째 상태의 위상과 크기를 한 번의 계산으로 구할 수 있다. 마찬가지로 컴퓨터 그래픽스에서 어떤 점을 원점을 중심으로 각 $\theta$만큼 회전시키는 동작을 복소수 곱셈으로 표현하면, 이 회전을 $n$번 반복한 결과는 처음 위치를 $n\theta$만큼 한 번에 회전시킨 것과 같다.

## ⚠️ 흔한 실수

1. **잘못된 생각**: 절댓값 $r$을 무시하고 $\cos n\theta + i\sin n\theta$만 계산한다.
   **왜 틀렸는지**: $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$에서 $r\neq1$이면 크기도 $n$번 곱해져야 하므로 반드시 $r^n$을 곱해야 한다. 예시 2에서 $r=2$를 빼먹으면 $-8$이 아니라 $-1$이라는 틀린 답이 나온다.

2. **잘못된 생각**: $\cos n\theta$를 "각 $\theta$는 그대로 두고 $\cos$값에 $n$을 곱한다"는 뜻인 $n\cos\theta$로 계산한다.
   **왜 틀렸는지**: 지수 $n$은 **각** $\theta$에 곱해지는 것이고 삼각함수 값에 곱해지는 것이 아니다. 예를 들어 $\cos(3\times60^\circ)=\cos180^\circ=-1$이지만 $3\cos60^\circ=1.5$로 값이 완전히 다르다.

3. **잘못된 생각**: 지수가 음의 정수일 때 $(\cos\theta+i\sin\theta)^{-n}$을 $-(\cos n\theta+i\sin n\theta)$로 계산한다.
   **왜 틀렸는지**: 음의 지수는 부호를 붙이는 것이 아니라 역수를 취하는 것이다. $(\cos\theta+i\sin\theta)^{-1}=\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)=\cos\theta-i\sin\theta$이므로, 실제로는 각의 부호만 바뀔 뿐 전체에 마이너스가 붙지 않는다.

## 확인 문제

1. $z=\cos45^\circ+i\sin45^\circ$일 때 $z^8$의 값을 구하시오.
2. $z=3(\cos120^\circ+i\sin120^\circ)$일 때 $z^2$의 값을 구하시오.
3. $(\cos\theta+i\sin\theta)^3$을 직접 전개하여 실수부와 허수부를 구한 뒤, 이를 $\cos3\theta+i\sin3\theta$와 비교하여 $\cos3\theta$를 $\cos\theta,\ \sin\theta$로 나타낸 식을 유도해 보시오. 이 과정을 통해 드무아브르의 정리가 왜 성립하는지 설명해 보시오.

정답 보기:

1. $z^8=\cos(8\times45^\circ)+i\sin(8\times45^\circ)=\cos360^\circ+i\sin360^\circ=1$
2. $z^2=3^2\{\cos(2\times120^\circ)+i\sin(2\times120^\circ)\}=9(\cos240^\circ+i\sin240^\circ)=9\left(-\dfrac12 - i\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=-\dfrac92-\dfrac{9\sqrt3}{2}i$
3. $(\cos\theta+i\sin\theta)^3=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta + i(3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta)$이고, 이것이 $\cos3\theta+i\sin3\theta$와 같아야 하므로 실수부를 비교하면 $\cos3\theta=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$. 이렇게 이항정리로 전개한 식과 각을 $n$배 한 식이 실수부·허수부별로 정확히 일치한다는 사실이 바로 드무아브르 정리가 성립하는 이유이다.



## 관련 개념

- 복소수 — 실수부와 허수부로 이루어진 수, 이 정리가 다루는 대상
- 복소수의 극형식 — $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ 표현, 이 정리를 서술하는 언어
- 삼각함수 — $\cos,\ \sin$의 성질과 배각공식이 정리의 증명·활용에 쓰임
- 수학적 귀납법 — 자연수 지수에 대한 증명 방법
- 복소평면 — 복소수의 곱셈을 회전과 확대·축소로 시각화하는 도구

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관련 개념:
- 복소수 (/wiki/math/%EB%B3%B5%EC%86%8C%EC%88%98)
- 복소수의 극형식 (/wiki/math/%EB%B3%B5%EC%86%8C%EC%88%98%EC%9D%98_%EA%B7%B9%ED%98%95%EC%8B%9D)
- 삼각함수 (/wiki/math/%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%95%A8%EC%88%98)
- 수학적 귀납법 (/wiki/math/%EC%88%98%ED%95%99%EC%A0%81_%EA%B7%80%EB%82%A9%EB%B2%95)
- 복소평면 (/wiki/math/%EB%B3%B5%EC%86%8C%ED%8F%89%EB%A9%B4)