# 도함수 분야: 해석 학교급: 고등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EB%8F%84%ED%95%A8%EC%88%98 --- ## 정의 함수 $y=f(x)$가 정의역의 모든 $x$에서 미분계수를 가질 때, 각 $x$에 미분계수 $f'(x)$($f$ 프라임 $x$라 읽는다)를 대응시키는 새로운 함수 $$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ 를 $f(x)$의 **도함수**라 한다. 여기서 $\lim_{h \to 0}$(리미트 에이치가 0으로 갈 때)는 $h$를 0에 한없이 가깝게 보낸다는 뜻이다. 도함수는 $f'(x)$ 외에도 $y'$, $\dfrac{dy}{dx}$(디와이 디엑스), $\dfrac{d}{dx}f(x)$로도 쓴다. 도함수를 구하는 과정을 **미분**이라 한다. ## 직관 미분계수 $f'(a)$가 곡선 위 한 점 $x=a$에서의 순간변화율(접선의 기울기)이었다면, 도함수는 그 점 $a$를 정의역 전체로 확장해 "각 위치에서의 순간변화율을 알려주는 함수"이다. 자동차의 위치 함수 $x(t)$가 있을 때, 특정 시각의 속도 하나만 구하는 게 미분계수였다면, 시간에 따라 속도가 어떻게 변하는지 전체 그래프로 나타낸 것이 도함수라고 생각하면 된다. ## 유도 미분계수에서 점 $x=a$에서의 순간변화율은 $$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ 로 정의된다. 이때 $a$는 정의역 안의 한 점을 고정한 것이므로 $f'(a)$는 $a$의 값이 정해질 때마다 하나씩 정해지는 수다. 그런데 이 극한 계산 과정 자체는 $a$가 어떤 값이든 똑같이 반복되므로, 고정된 점 $a$를 변수 $x$로 바꿔 써도 같은 식이 그대로 성립한다. 즉 $$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ 라는 새로운 함수를 얻는데, 이것이 바로 도함수의 정의다 — 미분계수가 "한 점에서의 값"이었다면 도함수는 그 계산 규칙을 $x$마다 적용해 얻는 "함수" 자체다. 이 정의를 실제로 이용해서 $(x^n)'=nx^{n-1}$이라는 공식이 왜 성립하는지 확인해 보자. $f(x)=x^2$이면 $$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\lim_{h\to0}\frac{2xh+h^2}{h}=\lim_{h\to0}(2x+h)=2x$$ 이고, $f(x)=x^3$이면 $$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}=\lim_{h\to0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}=\lim_{h\to0}(3x^2+3xh+h^2)=3x^2$$ 이다. 두 경우 모두 분자를 전개했을 때 $h$가 곱해지지 않은 항($2xh$, $3x^2h$의 계수)이 정확히 $nx^{n-1}$의 형태로 남고, 나머지 항은 모두 $h$를 인수로 가지고 있어 $h\to0$일 때 사라진다. 일반적인 $f(x)=x^n$의 경우도 같은 구조다. $(x+h)^n$을 전개하면 $x^n$과 $nx^{n-1}h$ 다음의 모든 항은 $h^2$을 인수로 가지므로 $$(x+h)^n - x^n = nx^{n-1}h + h^2 R(x,h)$$ ($R(x,h)$는 남은 항들을 모아 놓은 식)라고 쓸 수 있다. 양변을 $h$로 나누면 $$\frac{(x+h)^n-x^n}{h} = nx^{n-1} + hR(x,h)$$ 이고, $h\to0$이면 $hR(x,h)\to0$이므로 $f'(x)=nx^{n-1}$만 남는다. 이렇게 극한의 정의를 직접 계산해서 얻은 결과가 바로 도함수 공식 $(x^n)'=nx^{n-1}$이다. ## 도함수의 공식 - $(x^n)' = nx^{n-1}$ ($n$은 자연수) - $(c)' = 0$ ($c$는 상수) - $\{cf(x)\}' = cf'(x)$ - $\{f(x)+g(x)\}' = f'(x)+g'(x)$, $\{f(x)-g(x)\}' = f'(x)-g'(x)$ - (곱의 미분법) $\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ - (몫의 미분법) $\left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$ ($g(x)\neq 0$) ## 예시 $f(x)=x^3-3x+2$의 도함수를 구해 보자. $$f'(x) = (x^3)'-(3x)'+(2)' = 3x^2-3$$ 이때 $f'(2)=3\cdot4-3=9$이므로, $x=2$에서 곡선의 접선의 기울기는 $9$이다. 그래프: y=x^3-3*x+2, y=3*x^2-3 (정의역 -3~3) 위 그래프에서 $f(x)$가 증가하다가 감소, 다시 증가하는 구간과 $f'(x)$의 부호(양수·음수)가 정확히 대응함을 확인할 수 있다. ## 🌍 실생활 예시 기상청이나 뉴스에서 "기온이 시간당 2도씩 떨어지고 있다"처럼 어떤 양의 순간 변화 속도를 말할 때, 그 배경에는 도함수가 있다. 온도를 시간의 함수 $T(t)$로 나타내면 $T'(t)$가 바로 그 순간의 온도 변화율이며, 자동차 계기판의 속도계 역시 위치 함수의 도함수 값을 실시간으로 보여주는 장치라고 볼 수 있다. ## ⚠️ 흔한 실수 - **잘못된 생각**: $\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g'(x)$일 것이다. → **왜 틀렸는가**: 곱의 미분법은 $f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$이다. 예를 들어 $f(x)=x,\ g(x)=x$일 때 $f'g'=1$이지만, 실제로 $(x^2)'=2x$이므로 $f'g'$과는 전혀 다르다. - **잘못된 생각**: $(3x^2)'$을 구할 때 계수 $3$을 무시하고 $x^2$의 도함수 $2x$만 답으로 쓴다. → **왜 틀렸는가**: 상수배는 그대로 앞에 곱해져야 하므로 $(3x^2)'=3\cdot2x=6x$가 맞다. - **잘못된 생각**: $\left(\dfrac{1}{x}\right)'$을 지수법칙을 그대로 적용해 $-\dfrac{1}{x}$라고 쓴다. → **왜 틀렸는가**: $\dfrac{1}{x}=x^{-1}$로 바꾸고 $(x^n)'=nx^{n-1}$을 적용하면 $(x^{-1})'=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}$이 되어야 한다. 지수만 하나 줄이고 계수를 곱하는 것을 빠뜨리면 안 된다. ## 확인 문제 1. 정의(극한)를 이용해 $f(x)=x^2$의 도함수가 $2x$가 되는 이유를 직접 보여라. (힌트: $\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}$를 전개한 뒤 $h\to0$을 생각해 보자.) 2. $f(x)=2x^3-x^2+5$일 때 $f'(x)$와 $f'(-1)$의 값을 구하시오. 3. $f(x)=(x^2+1)(x-3)$일 때 곱의 미분법을 이용하여 $f'(x)$를 구하시오. 정답 보기: 1. $\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}=\dfrac{2xh+h^2}{h}=2x+h$이고, $h\to0$이면 $2x+h \to 2x$이다. 즉 $h$가 남긴 항이 사라지면서 $2x$만 남는 과정이 바로 지수법칙 공식 $(x^2)'=2x$의 근거이다. 2. $f'(x)=6x^2-2x$이고, $f'(-1)=6+2=8$ 3. $f'(x)=(x^2+1)'(x-3)+(x^2+1)(x-3)' = 2x(x-3)+(x^2+1)\cdot1 = 2x^2-6x+x^2+1=3x^2-6x+1$ ## 📜 역사 17세기 이전에는 곡선의 한 점에서 접선을 긋거나, 움직이는 물체의 순간속도를 구하는 문제를 다룰 통일된 방법이 없었다. 뉴턴은 물체의 운동에서 위치가 시간에 따라 변할 때의 순간적인 변화율을 구하는 방법을 연구했고, 비슷한 시기에 라이프니츠는 곡선의 접선을 구하는 기하학적인 문제에서 같은 개념에 도달했다. 두 사람은 서로 독립적으로 이 방법을 발전시켰는데, 라이프니츠가 고안한 $\dfrac{dy}{dx}$ 표기는 오늘날까지도 널리 쓰인다. 이후 라그랑주가 $f'(x)$라는 프라임 표기를 도입하면서, 오늘날 교과서에서 쓰는 도함수 표기들이 자리를 잡았다. ## 관련 개념 - 미분계수 — 한 점에서의 순간변화율, 도함수는 이를 함수로 확장한 것 - 함수의 극한 — 도함수의 정의에 쓰이는 극한 개념 - 함수의 연속 — 미분 가능성과 밀접한 관련이 있는 성질 - 접선의 방정식 — 도함수 값으로 접선의 기울기를 구해 활용 - 함수의 극대와 극소 — 도함수의 부호로 함수의 증가·감소를 판단 - 미분법 — 합성함수, 삼각함수 등으로 미분을 확장하는 후속 내용 --- 관련 개념: - 미분계수 (/wiki/math/%EB%AF%B8%EB%B6%84%EA%B3%84%EC%88%98) - 함수의 극한 (/wiki/math/%ED%95%A8%EC%88%98%EC%9D%98_%EA%B7%B9%ED%95%9C) - 함수의 연속 (/wiki/math/%ED%95%A8%EC%88%98%EC%9D%98_%EC%97%B0%EC%86%8D) - 접선의 방정식 (/wiki/math/%EC%A0%91%EC%84%A0%EC%9D%98_%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D) - 함수의 극대와 극소 (/wiki/math/%ED%95%A8%EC%88%98%EC%9D%98_%EA%B7%B9%EB%8C%80%EC%99%80_%EA%B7%B9%EC%86%8C) - 미분법 (/wiki/math/%EB%AF%B8%EB%B6%84%EB%B2%95)