# 다면체와 회전체 분야: 기하 학교급: 중등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EB%8B%A4%EB%A9%B4%EC%B2%B4%EC%99%80_%ED%9A%8C%EC%A0%84%EC%B2%B4 --- ## 정의 **다면체**는 다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형입니다. 이때 각 다각형을 다면체의 **면**, 면과 면이 만나는 선분을 **모서리**, 모서리와 모서리가 만나는 점을 **꼭짓점**이라고 합니다. 면이 4개면 사면체, 5개면 오면체, 6개면 육면체와 같이 면의 개수로 이름을 붙입니다. **회전체**는 평면도형을 한 직선을 축으로 하여 1회전(한 바퀴) 시켰을 때 생기는 입체도형입니다. 이때 기준이 되는 직선을 **회전축**이라고 합니다. ## 직관 다면체는 평평한 종이 조각(다각형)을 여러 장 붙여서 만든 상자나 텐트라고 생각하면 됩니다 — 면이 모두 편평합니다. 반면 회전체는 팽이나 물레처럼, 어떤 평면 도형을 축 주위로 빙글 돌렸을 때 공중에 그려지는 자취라고 생각하면 됩니다. 그래서 회전체의 옆면은 대부분 곡면입니다. ## 성질 - **다면체의 종류**: 각기둥, 각뿔, 각뿔대는 모두 옆면이 다각형이므로 다면체입니다. 원기둥, 원뿔처럼 곡면을 포함하면 다면체가 아닙니다. - **정다면체**: 모든 면이 합동인 정다각형이고, 각 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 같은 다면체입니다. 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체 이렇게 딱 5가지만 존재합니다. - **오일러 공식**: 꼭짓점의 개수 $V$($V$는 vertex의 첫 글자), 모서리의 개수 $E$(edge), 면의 개수 $F$(face) 사이에는 항상 $$V - E + F = 2$$ 가 성립합니다. - **회전체의 종류**: 직사각형을 돌리면 원기둥, 직각삼각형을 돌리면 원뿔, 사다리꼴을 돌리면 원뿔대, 반원을 돌리면 구가 만들어집니다. - **회전체의 단면**: 회전축을 포함하는 평면으로 자르면 단면은 회전축을 대칭축으로 하는 선대칭도형이고, 회전축에 수직인 평면으로 자르면 단면은 항상 원입니다. ## 예시 **다면체 예시**: 정육면체는 $V=8$, $E=12$, $F=6$이므로 $8-12+6=2$로 오일러 공식이 성립합니다. 정사면체는 $V=4$, $E=6$, $F=4$이므로 $4-6+4=2$로 역시 성립합니다. **회전체 예시**: 밑변이 3cm, 높이가 4cm인 직각삼각형을 높이 쪽 변을 회전축으로 하여 1회전시키면, 밑면의 반지름이 3cm이고 높이가 4cm인 원뿔이 만들어집니다. 이 원뿔을 회전축을 포함하는 평면으로 자르면 밑변 6cm, 높이 4cm인 이등변삼각형이 단면으로 나오고, 회전축에 수직으로 자르면 원이 단면으로 나옵니다. ## 🌍 실생활 예시 도자기를 만들 때 쓰는 물레가 회전체의 원리를 그대로 이용합니다. 도예가가 손으로 흙의 옆면 모양(단면)을 다듬는 동안 물레가 빠르게 회전하면, 그 단면 모양이 회전축을 중심으로 한 바퀴 돈 자취만큼 그릇의 입체 모양이 만들어집니다. 즉 손으로 만든 평면 모양의 곡선이 곧 회전체의 '자른 단면'에 해당하고, 물레의 회전축이 회전체의 회전축이 됩니다. ## ⚠️ 흔한 실수 1. **원기둥이나 원뿔을 다면체라고 착각한다** → 다면체는 면이 모두 다각형(평면)이어야 하는데, 원기둥과 원뿔은 옆면이 곡면이므로 다면체가 아니라 회전체입니다. 2. **회전체의 단면을 자르는 방향에 따라 모양이 다르다는 것을 놓친다** → 회전축을 포함하는 평면으로 자르면 선대칭도형(예: 이등변삼각형, 직사각형)이 나오지만, 회전축에 수직인 평면으로 자르면 항상 원이 나옵니다. 두 경우를 헷갈려서 아무 단면이나 원이라고 답하는 실수가 많습니다. 3. **정다각형이기만 하면 정다면체가 될 수 있다고 생각한다** → 한 꼭짓점에 모이는 각의 합이 $360°$보다 작아야 입체 모양이 만들어지기 때문에, 정육각형(내각 $120°$) 이상부터는 세 개만 모아도 $360°$가 되어 평평해지므로 정다면체를 만들 수 없습니다. 그래서 정다면체는 정삼각형·정사각형·정오각형으로만 만들어지는 5가지뿐입니다. ## 확인 문제 1. 정팔면체는 $V=6$, $E=12$, $F=8$입니다. 오일러 공식 $V-E+F=2$가 성립하는지 직접 계산해서 확인하고, 이 공식이 왜 다면체의 꼭짓점·모서리·면 개수 사이의 '균형'을 나타내는지 자신의 말로 설명해 보아라. 2. 밑변 5cm, 높이 12cm인 직각삼각형을 높이 쪽 변을 회전축으로 하여 1회전시켰다. 만들어지는 회전체의 이름과 밑면의 반지름을 구하라. 3. 다음 중 다면체가 아닌 것을 모두 고르시오: 삼각기둥, 원뿔, 오각뿔, 구, 정팔면체. 정답 보기: 1. $6-12+8=2$로 성립한다. 다면체를 하나씩 잘라 펼치면(평면 그래프로 생각하면) 꼭짓점, 모서리, 면의 개수 사이에 항상 이 관계가 유지된다는 것을 보여준다. 2. 높이(12cm)가 회전축이므로 나머지 변인 5cm가 회전하며 밑면의 반지름이 된다. 따라서 밑면의 반지름이 5cm, 높이가 12cm인 원뿔이 만들어진다. 3. 원뿔과 구는 옆면(또는 전체)이 곡면이므로 다면체가 아니다. ## 관련 개념 - 다각형 — 다면체의 면을 이루는 기본 도형 - 원 — 회전체의 단면과 밑면을 이해하는 데 필요한 개념 - 공간도형 — 다면체와 회전체를 포함하는 입체도형 전반의 개념 - 입체도형의 겉넓이와 부피 — 다면체와 회전체의 겉넓이·부피를 계산하는 후속 개념 - 도형의 닮음 — 회전체나 다면체를 축소·확대할 때 활용되는 개념 --- 관련 개념: - 평면도형 (/wiki/math/%ED%8F%89%EB%A9%B4%EB%8F%84%ED%98%95) - 다각형 (/wiki/math/%EB%8B%A4%EA%B0%81%ED%98%95) - 원 (/wiki/math/%EC%9B%90) - 공간도형 (/wiki/math/%EA%B3%B5%EA%B0%84%EB%8F%84%ED%98%95) - 입체도형의 겉넓이와 부피 (/wiki/math/%EC%9E%85%EC%B2%B4%EB%8F%84%ED%98%95%EC%9D%98_%EA%B2%89%EB%84%93%EC%9D%B4%EC%99%80_%EB%B6%80%ED%94%BC) - 도형의 닮음 (/wiki/math/%EB%8F%84%ED%98%95%EC%9D%98_%EB%8B%AE%EC%9D%8C)