# 고유값과 고유벡터 분야: 대수 학교급: 대학 교육과정: 정규 교육과정 외 — 일차변환이 방향을 바꾸지 않는 벡터와 그때의 배율. 변환의 성질을 몇 개의 수로 요약한다. 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EA%B3%A0%EC%9C%A0%EA%B0%92%EA%B3%BC_%EA%B3%A0%EC%9C%A0%EB%B2%A1%ED%84%B0 --- 문서 작성 권한이 필요합니다. 승인해 주시면 파일을 저장하겠습니다. 아래에 본문 전체를 표시합니다. > 이 개념은 일차변환이 방향을 바꾸지 않는 벡터와 그때의 배율을 다루며, 변환의 성질을 몇 개의 수로 요약한다. ## 정의 $n\times n$ 정사각행렬 $A$가 주어졌을 때, 영벡터가 아닌 벡터 $\mathbf{v}$와 스칼라 $\lambda$(람다)가 $$A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$$ 를 만족하면, $\lambda$를 $A$의 **고유값**(eigenvalue), $\mathbf{v}$를 $\lambda$에 대응하는 **고유벡터**(eigenvector)라 한다. 같은 정의를 벡터공간 $V$ 위의 일차변환 $T:V\to V$에 대해서도 쓸 수 있다: $T(\mathbf{v})=\lambda\mathbf{v}$인 $\mathbf{v}\neq \mathbf{0}$이 있으면 $\lambda,\mathbf{v}$를 각각 $T$의 고유값, 고유벡터라 부른다. ## 직관 행렬 $A$를 곱하는 것은 평면 또는 공간을 늘리고, 줄이고, 돌리고, 비트는 일차변환이다. 대부분의 벡터는 이 변환을 거치면 방향이 완전히 바뀐다. 그런데 몇몇 특별한 방향은 변환을 거쳐도 그 방향(또는 정반대 방향)을 그대로 유지하고, 길이만 어떤 배율로 늘어나거나 줄어든다. 이 방향이 고유벡터이고, 그 배율이 고유값이다. 비유하자면, 반죽을 밀대로 밀 때 대부분의 점은 이리저리 밀려 움직이지만, 밀대가 굴러가는 축 방향에 놓인 점들은 오직 그 축 방향으로만 늘어난다. 그 축의 방향이 고유벡터, 늘어난 비율이 고유값에 해당한다. 고유값과 고유벡터를 알면 복잡한 변환 전체를 몇 개의 숫자(배율)와 방향으로 요약해서 이해할 수 있다. ## 유도 $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$에서 출발한다. 우변을 좌변으로 옮기면 $$A\mathbf{v} - \lambda\mathbf{v} = \mathbf{0}$$ 인데, $\lambda\mathbf{v}$를 그대로 행렬 빼기에 넣을 수는 없으므로 단위행렬 $I$(아이, 대각선이 1이고 나머지는 0인 행렬)를 이용해 $\lambda\mathbf{v}=\lambda I\mathbf{v}$로 바꾼다. 그러면 $$(A-\lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$$ 을 얻는다. 여기서 막히는 지점이 생긴다: 이 방정식은 $\mathbf{v}=\mathbf{0}$이라는 자명한 해를 항상 갖는데, 우리가 찾는 것은 $\mathbf{v}\neq\mathbf{0}$인 해다. 역행렬에서 배웠듯, 만약 $A-\lambda I$이 역행렬을 가진다면 양변에 그 역행렬을 곱해 $\mathbf{v}=(A-\lambda I)^{-1}\mathbf{0}=\mathbf{0}$만 나와 자명한 해뿐이다. 따라서 $\mathbf{v}\neq\mathbf{0}$이 존재하려면 $A-\lambda I$가 역행렬을 갖지 **않아야**, 즉 $\det(A-\lambda I)=0$(디터미넌트 에이 마이너스 람다 아이)이어야 한다. 이 방정식을 **특성방정식**이라 부르고, $\lambda$에 대한 다항식(2차 행렬이면 이차방정식)이 된다. $2\times 2$ 행렬 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$이면 $$A-\lambda I = \begin{pmatrix}a-\lambda & b\\ c& d-\lambda\end{pmatrix},\quad \det(A-\lambda I) = (a-\lambda)(d-\lambda)-bc = \lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)$$ 가 되어 $\lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad-bc)=0$이라는 이차방정식이 나온다. 이 방정식의 두 근이 바로 $A$의 두 고유값이며, 각 고유값 $\lambda_k$를 다시 $(A-\lambda_k I)\mathbf{v}=\mathbf{0}$에 대입해 풀면 대응하는 고유벡터 $\mathbf{v}$를 얻는다. ## 성질 - 이차방정식 $\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)=0$의 근과 계수의 관계(2차 행렬의 경우)에 의해, 두 고유값의 합은 $a+d$(대각합, trace)와 같고 곱은 $ad-bc$($\det A$)와 같다. 이는 근과 계수의 관계가 행렬에서도 성립하는 예다. - $\lambda$가 고유값이고 $\mathbf{v}$가 대응 고유벡터면, $0$이 아닌 임의의 스칼라 $k$에 대해 $k\mathbf{v}$도 같은 고유값의 고유벡터다. 즉 고유벡터는 유일하지 않고 방향(과 스칼라배)만 정해진다. - 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 서로 일차독립이다. - 실수 행렬이라도 고유값이 항상 실수인 것은 아니며, 회전행렬처럼 복소수 고유값만 갖는 경우도 있다. ## 예시 $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$의 고유값과 고유벡터를 구해 보자. 특성방정식은 $$\lambda^2-4\lambda+3=0 \;\Longrightarrow\; (\lambda-1)(\lambda-3)=0 \;\Longrightarrow\; \lambda=1,\ 3$$ $\lambda=3$일 때 $(A-3I)\mathbf{v}=\mathbf{0}$, 즉 $\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}\mathbf{v}=\mathbf{0}$에서 $\mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$을 얻는다. $\lambda=1$일 때는 $\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\mathbf{v}=\mathbf{0}$에서 $\mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$을 얻는다. 실제로 $A\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$로 확인된다. 특성방정식의 근을 그래프로도 확인할 수 있다. 그래프: y=x^2-4*x+3 (정의역 -1~5) ## 🌍 실생활 예시 데이터 분석에서 쓰이는 주성분분석(PCA)은 데이터의 공분산 행렬의 고유벡터와 고유값을 구하는 작업이다. 고유값이 클수록 그 고유벡터 방향으로 데이터가 많이 퍼져 있다는 뜻이므로, 가장 큰 고유값에 대응하는 고유벡터(주성분) 몇 개만 남기면 데이터의 핵심 정보를 유지하면서 차원을 줄일 수 있다. ## ⚠️ 흔한 실수 - **"고유벡터는 딱 하나로 정해진다"고 착각**: 실제로는 고유벡터에 $0$이 아닌 아무 실수를 곱해도 여전히 같은 고유값의 고유벡터다. 방향(직선)만 유일하고, 벡터 자체는 무한히 많다. - **$A-\lambda I$ 대신 $A-\lambda$를 계산**: $\lambda$는 스칼라이고 $A$는 행렬이라 크기가 다르므로 그냥 뺄 수 없다. 반드시 $\lambda I$처럼 단위행렬을 곱해 같은 크기의 행렬로 만든 뒤 빼야 한다. - **고유값이 $0$이면 고유벡터도 $0$벡터라고 오해**: 고유값 $\lambda=0$은 $A\mathbf{v}=\mathbf{0}$을 뜻할 뿐, 고유벡터 $\mathbf{v}$ 자신은 여전히 $0$이 아닌 벡터여야 한다(정의에서 $\mathbf{v}\neq\mathbf{0}$을 요구하기 때문). ## 확인 문제 1. 대각행렬 $A=\begin{pmatrix}3&0\\0&5\end{pmatrix}$에 대해 $\mathbf{e_1}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$과 $\mathbf{e_2}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$이 왜 자명하게 고유벡터가 되는지, 그 고유값은 각각 무엇인지 설명하라. (힌트: 대각행렬을 곱한다는 것이 각 좌표축에 어떤 일을 하는지 생각해 보라.) 2. $A=\begin{pmatrix}4&2\\1&3\end{pmatrix}$의 고유값과 각 고유값에 대응하는 고유벡터를 구하라. 3. 위 문제 2에서 구한 두 고유값의 합과 곱을 각각 계산하고, 이것이 $A$의 대각합($4+3$)과 행렬식($4\cdot3-2\cdot1$)과 일치하는지 확인하라. 정답 보기: 1. $A\mathbf{e_1}=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}=3\mathbf{e_1}$, $A\mathbf{e_2}=\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix}=5\mathbf{e_2}$이므로 고유값은 각각 $3,5$이다. 대각행렬은 각 축을 그 축 위의 대각성분만큼 늘리고 다른 축과 섞지 않으므로, 좌표축 자체가 이미 방향이 바뀌지 않는 벡터, 즉 고유벡터다. 2. 특성방정식 $\lambda^2-7\lambda+10=0$에서 $(\lambda-2)(\lambda-5)=0$, 고유값은 $2,5$. $\lambda=2$: $(A-2I)\mathbf{v}=0 \Rightarrow \begin{pmatrix}2&2\\1&1\end{pmatrix}\mathbf{v}=0 \Rightarrow \mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$. $\lambda=5$: $\begin{pmatrix}-1&2\\1&-2\end{pmatrix}\mathbf{v}=0 \Rightarrow \mathbf{v}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$. 3. 합은 $2+5=7=4+3$, 곱은 $2\times5=10=4\cdot3-2\cdot1$로 정확히 일치한다. ## 📜 역사 18세기 오일러와 라그랑주는 강체의 회전 운동에서 관성이 어느 방향으로 걸리는지를 나타내는 주축(principal axes) 문제와 행성 궤도의 장기적 섭동 문제를 다루면서, 오늘날 고유값·고유벡터에 해당하는 개념을 이차형식과 연립방정식의 형태로 다루었다. 19세기 코시는 이차형식을 대각화하는 과정에서 특성방정식을 체계적으로 정리했다. "고유값"이라는 용어 자체(독일어 Eigenwert)는 20세기 초 힐베르트가 적분방정식과 스펙트럼 이론을 연구하며 사용한 데서 널리 퍼졌다. ## 관련 개념 - 일차변환 - 역행렬 - 이차방정식 - 근과 계수의 관계 - 행렬의 연산 --- 관련 개념: - 역행렬 (/wiki/math/%EC%97%AD%ED%96%89%EB%A0%AC) - 이차방정식 (/wiki/math/%EC%9D%B4%EC%B0%A8%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D) - 근과 계수의 관계 (/wiki/math/%EA%B7%BC%EA%B3%BC_%EA%B3%84%EC%88%98%EC%9D%98_%EA%B4%80%EA%B3%84) - 일차변환 (/wiki/math/%EC%9D%BC%EC%B0%A8%EB%B3%80%ED%99%98) - 행렬의 연산 (/wiki/math/%ED%96%89%EB%A0%AC%EC%9D%98_%EC%97%B0%EC%82%B0)