# 경우의 수

분야: 확률통계
학교급: 중등
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EA%B2%BD%EC%9A%B0%EC%9D%98_%EC%88%98

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## 정의

어떤 사건이 일어날 수 있는 모든 가짓수를 **경우의 수**라 한다. 사건 $A$가 일어나는 경우가 $m$가지, 사건 $B$가 일어나는 경우가 $n$가지일 때, 두 기본 법칙이 출발점이다:

- **합의 법칙**: 두 사건이 동시에 일어나지 않으면, $A$ **또는** $B$가 일어나는 경우의 수는 $m + n$
- **곱의 법칙**: 사건 $A$에 **이어서** 사건 $B$가 일어나면, 잇달아 일어나는 경우의 수는 $m \times n$

## 직관

"또는"이면 더하고, "그리고 나서"면 곱한다. 합의 법칙은 집합의 언어로 $n(A \cup B) = n(A) + n(B)$ ($A \cap B = \varnothing$일 때)를 세는 것이고, 겹침이 있으면 뺀다:

$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$

곱의 법칙은 "선택의 단계마다 가지가 갈라지는" 수형도를 한 번에 세는 것이다. 복잡한 문제도 결국 이 두 법칙의 조합으로 환원된다.

## 🧑‍🏫 쉬운 설명

많은 학생이 여기서 가장 헷갈려 하는 건 **언제 더하고 언제 곱하는가**다. 공식을 외워도 문제 앞에서 손이 멈추는 이유는, "또는"과 "그리고"를 상황 속에서 구분하지 못하기 때문이다. 간단한 기준이 있다. **하나의 상황에서 여러 갈래 중 하나만 고르면 더하고, 여러 단계를 차례로 다 거쳐야 하면 곱한다.** 점심으로 "한식 3가지 또는 양식 2가지 중 하나"를 먹으면 갈래가 갈라진 것이니 $3+2=5$가지지만, "음료 3가지 중 하나 고르고 그다음 디저트 2가지 중 하나도 고른다"면 두 단계를 다 밟아야 하므로 $3\times2=6$가지다. 문장에서 "~중 하나"인지 "~하고 또 ~"인지를 먼저 찾는 습관을 들이면 대부분 정리된다.

또 자주 놓치는 건 **겹치는 경우**다. 합의 법칙으로 그냥 더할 수 있는 건 두 사건이 동시에 일어나지 않을 때뿐이다. 겹치는 부분이 있으면 그만큼 두 번 센 셈이라 한 번 빼줘야 한다 — 이게 $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$의 뜻이다. "$3$의 배수 또는 $4$의 배수"처럼 $12$ 같은 수가 양쪽에 다 걸리는 상황에서 더하기만 하면, $12$를 두 번 센 것이 된다.

핵심은 문장을 읽고 "갈래인가, 단계인가"를 먼저 판단하고, 갈래일 때는 겹침이 없는지 확인하는 것이다.

## 예시

- 주사위를 던져 $3$의 배수(2가지) 또는 $4$의 약수(3가지, 겹침 없음)가 나오는 경우: $2 + 3 = 5$가지
- 집에서 학교까지 길이 3개, 학교에서 도서관까지 길이 2개면 집→도서관 경로는 $3 \times 2 = 6$가지
- 서로 다른 동전 3개를 던질 때 나올 수 있는 결과: 각 동전이 2가지씩이므로 $2^3 = 8$가지

## 관련 개념

- 나열 순서까지 고려해 세는 것이 순열, 순서를 무시하고 뽑기만 하는 것이 조합이다
- 경우의 수의 비율로 사건의 가능성을 재는 것이 확률이다
- 세는 대상의 소속을 명확히 하는 언어가 집합이다

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관련 개념:
- 집합 (/wiki/math/%EC%A7%91%ED%95%A9)
- 순열 (/wiki/math/%EC%88%9C%EC%97%B4)
- 조합 (/wiki/math/%EC%A1%B0%ED%95%A9)
- 확률 (/wiki/math/%ED%99%95%EB%A5%A0)